Lemma. Sint tres lineae utcumque 'a', 'd', 'e', et inter 'a', 'd' media proportionalis sit 'b'; inter 'a', 'e' media proportionalis sit 'c'; inter 'e', 'd' tandem media sit 'g'. Dico ut 'c' ad 'b', ita esse 'g' ad 'd'. Quia enim 'b' est media inter 'a', 'd', erit quadratum 'b' aequale rettangulo 'ad'; similiter quadratum 'c' aequale rettangulo 'ae'; igitur, ut rectangulum 'ae' ad rectangulum 'ad', ita quadratum 'c' ad quadratum 'b'. Ut autem rectangulum 'ae' ad rectangulum 'ad', ita linea 'e' ad 'd'; ut vero linea 'e' ad lineam 'd', ita quadratum 'g' ad quadratum 'd'; ergo, ut quadratum 'c' ad quadratum 'b', ita quadratum 'g' ad quadratum 'd', et ut 'c' ad 'b', ita 'g' ad 'd'.

Sint plana aequalia 'ab', 'cd' 'cb' inaequaliter inclinata, et altitudo inclinationis plani 'ab' sit 'be', ipsius vero 'bc' sit 'bd'. Dico tempus casus super 'ba' ad tempus casus per 'bc', esse ut media proportionalis inter 'db', 'be' ad ipsam 'be'.

Accipiatur 'fb' ipsis 'cb', 'ab' aequalis, et ipsarum 'fb', 'bd' media sit 'bs'; ipsarum vero 'fb', 'be' media sit 'br': et quia tempus casus 'bf' ad tempus casus 'bd' est ut 'sb' ad 'bd', tempus vero casus 'bd' ad tempus casus 'bc' ut 'bd' ad 'bc', ergo, ex aequali, tempus casus 'bf' ad tempus casus 'bc' ut 'sb' ad 'bc', et, convertendo, tempus casus 'bc' ad tempus casus 'bf' ut 'bc' ad 'bs'. Similiter autem demonstrabitur, ut tempus casus 'bf' ad tempus casus 'ba', ita linea 'rb' ad 'ba' vel 'bc'; ergo, ex aequali in analogia perturbata, ut tempus casus 'bc' ad tempus casus 'ba', ita 'rb' ad 'sb', et, conversim, ut tempus casus 'ba' ad tempus casus 'bc' ita 'sb' ad 'br'. Ex lemmate vero antecedenti, ut 'sb' ad 'br', ita media inter 'db', 'be' ad ipsam 'be': quare patet propositum. alit
Aliter, absque lemmate: