Einstein, Albert Die Grundlage der allgemeinen Relativitaetstheorie 1916
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Durch dieses Transformationsgesetz wird der kovariante
Tensor zweiten Ranges definiert. Alle Bemerkungen, welche
vorher über die kontravarianten Tensoren gemacht wurden,
gelten auch für die kovarianten Tensoren.

Bemerkung. Es ist bequem, den Skalar (Invariante) so-
wohl als kontravarianten wie als kovarianten Tensor vom
Range Null zu behandeln.

Gemischter Tensor. Man kann auch einen Tensor zweiten
Ranges vom Typus

(12)

definieren, der bezüglich des Index kovariant, bezüglich
des Index kontravariant ist. Sein Transformationsgesetz ist

(13)

Natürlich gibt es gemischte Tensoren mit beliebig vielen
Indizes kovarianten und beliebig vielen Indizes kontravarianten
Charakters. Der kovariante und der kontravariante Tensor
können als spezielle Fälle des gemischten angesehen werden.

Symmetrische Tensoren. Ein kontravarianter bzw. ko-
varianter Tensor zweiten oder höheren Ranges heißt sym-
metrisch, wenn zwei Komponenten, die durch Vertauschung
irgend zweier Indizes auseinander hervorgehen, gleich sind.
Der Tensor A bzw. A ist also symmetrisch, wenn für jede
Kombination der Indizes

(14)

bzw.

(14a)

ist.

Es muß bewiesen werden, daß die so definierte Symmetrie
eine vom Bezugssystem unabhängige Eigenschaft ist. (Aus (9)
folgt in der Tat mit Rücksicht auf (14)

Die vorletzte Gleichsetzung beruht auf der Vertauschung der
Summationsindizes und (d. h. auf bloßer Änderung der
Bezeichnungsweise).

Antisymmetrische Tensoren. Ein kontravarianter bzw. ko-
varianter Tenor zweiten, dritten oder vierten Ranges heißt