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ENTWURF EINER VERALLGEMEINERTEN RELATIVIT ATSTHEORIE UND EINER THEORIE DER GRAVITATION I. PHYSIKALISCHER TEIL VOɴ ALBERT EINSTEIN ɪɴ YUʀɪCʜ II. MATHEMATISCHER TEIL VOɴ MARCEL GROSSMANN ɪɴ YUʀɪCʜ I. Physikalischer Teil. Von AʟʙEʀT EɪɴSTEɪɴ. Die im folgenden dargelegte Theorie ist aus der Überzeugung hervorgegangen, daß die Proportionalität zwischen der trägen und der schweren Masse der Körper ein exakt gültiges Naturgesetz sei, das bereits in dem Fundamente der theoretischen Physik einen Ausdruck finden müsse. Schon in einigen früheren Arbeiten suchte ich dieser Überzeugung dadurch Ausdruck zu verleihen, daß ich die s c h w e r e auf die t r ä g e Masse zurückzuführen suchte; dieses Bestreben führte mich zu der Hypothese, daß ein (unendlich wenig ausgedehntes homogenes) Schwerefeld sich durch einen Beschleunigungszustand des Bezugssystems physikalisch vollkommen ersetzen lasse. Anschaulich läßt sich diese Hypothese so aussprechen: Ein in einem Kasten eingeschlossener Beobachter kann auf keine Weise entscheiden, ob der Kasten sich ruhend in einem statischen Gravitationsfelde befindet, oder ob sich der Kasten in einem von Gravitationsfeldern freien Raume in beschleunigter Bewegung befindet, die durch an dem Kasten angreifende Kräfte aufrecht erhalten wird ( Äquivalenz-Hypothese). Daß das Gesetz der Proportionalität der trägen und der schweren Masse jedenfalls mit außerordentlicher Genauigkeit erfüllt ist, wissen wir aus einer fundamental wichtigen Untersuchung von E ö t v ö s, die auf folgender Überlegung beruht. Auf einen an der Erdoberfläche ruhenden Körper wirkt sowohl die Schwere als auch die von der Drehung der Erde herrührende Zentrifugalkraft. Die erste dieser Kräfte ist proportional der schweren, die zweite der trägen Masse. Die Richtung der Resultierenden dieser beiden Kräfte, d. h. die Richtung der scheinbaren Schwerkraft (Lotrichtung) müßte also von der physikalischen Natur des ins Auge gefaßten Körpers abhängen, falls die Proportionalität der trägen und schweren Masse nicht erfüllt wäre. Es ließen sich dann die scheinbaren Schwerkräfte, welche auf Teile eines heterogenen starren Systems wirken, im allgemeinen nicht zu einer Resultierenden vereinigen; es bliebe vielmehr im allgemeinen ein Drehmoment der scheinbaren Schwerkräfte übrig, das sich beim Aufhängen des Systems an einem torsionsfreien Faden hätte bemerkbar machen müssen. Indem E ö t v ö s die Abwesenheit solcher Drehmomente mit großer Sorgfalt feststellte, bewies er, daß das Verhältnis beider Massen für die von ihm untersuchten Körper mit solcher Genauigkeit von der Natur des Körpers unabhängig war, daß die relativen Unterschiede die dies Verhältnis von Stoff zu Stoff noch besitzen könnte, kleiner als ein Zwanzigmilliontel sein müßte. Beim Zerfall radioaktiver Stoffe werden so bedeutende Energiemengen abgegeben, daß die Änderung der trägen Masse des Systems, welche nach der Relativitätstheorie jener Energieabnahme entspricht, gegenüber der Gesamtmasse nicht sehr klein ist. Beim Zerfall von Radium beträgt z. B. jene Abnahme der Gesamtmasse 1 10000 . Würden jenen Änderungen der trägen Masse nicht 2 Änderungen der s c h w e r e n Masse entsprechen, so müßten Abweichungen der trägen von der schweren Masse bestehen, die weit größer sind, als es die E ö t v ö sschen Versuche zulassen. Es muß also als sehr wahrscheinlich betrachtet werden, daß die Identität der trägen und der schweren Masse exakt erfüllt ist. Aus diesen Gründen scheint mir auch die Äquivalenzhypothese, welche die physikalische Wesengleicheit der schweren mit der trägen Masse ausspricht, einen hohen Grad von Wahrscheinlichkeit zu besitzen. § 1. Bewegungsgleichungen des materiellen Punktes im statischen Schwerefeld. Gemäß der gewöhnlichen Relativitätstheorie bewegt sich ein kräftefrei bewegter Punkt nach der Gleichung ( 1 ) δ { ∫ d s } = δ { ∫ 2 − d x 2 − d y 2 − d z 2 + c 2 d t 2 } = 0 . Denn es besagt diese Gleichung nichts anderes, als daß sich der materielle Punkt geradlinig und gleichförmig bewegt. Es ist dies die Bewegungsgleichung in Form des Hamiltonschen Prinzipes; denn wir können auch setzen ( 1 a ) δ { ∫ H d t } = 0 , wobei H = − d s d t m gesetzt ist, falls m die Ruhemasse des materiellen Punktes bedeutet. Hieraus ergeben sich in bekannter Weise Impuls J x , J y , J z und Energie E des bewegten Punktes: ( 2 ) { J x = m ∂ H ∂ x ˙ = m x ˙ 2 c 2 − q 2 ; etc E = ∂ H ∂ x ˙ x ˙ + ∂ H ∂ y ˙ y ˙ + ∂ H ∂ z ˙ z ˙ − H = m c 2 2 c 2 − q 2 . } . Diese Darstellungsweise unterscheidet sich von der üblichen nur dadurch, daß in letzterer J x , J y , J z und E noch einen Faktor c aufweisen. Da aber c in der gewöhnlichen Relativitätstheorie konstant ist, so ist das hier gegebene System dem gewöhnlich gegebenen äquivalent. Der einzige Unterschied ist der, daß J und E andere Dimensionen besitzen als in der üblichen Darstellungsweise. In früheren Arbeiten habe ich gezeigt, daß die Äquivalenzhypothese zu der Folgerung führt, daß in einem statischen Gravitationsfelde die Lichtgeschwindigkeit c vom Gravitationspotential abhängt. Ich gelangte so zu der Meinung, daß die gewöhnliche Relativitätstheorie nur eine Annäherung an die Wirklichkeit gebe; sie sollte in dem Grenzfalle gelten, daß in dem betrachteten RaumZeitgebiete keine zu große Verschiedenheiten des Gravitationspotentials auftreten. Außerdem fand ich als Gleichungen der Bewegung eines Massenpunktes in 3 einem statischen Gravitationsfelde wieder die Gleichungen (1) bzw. (1a) ; es ist aber dabei c nicht als eine Konstante, sondern als eine Funktion der Raumkoordinaten aufzufassen, die ein Maß für das Gravitationspotential darstellt. Aus (1a) folgen in bekannter Weise die Bewegungsgleichungen ( 3 ) d d t { m x ˙ 2 c 2 − q 2 } = − m c ∂ c ∂ x 2 c 2 − q 2 Man sieht, daß die Bewegungsgröße durch den nämlichen Ausdruck dargestellt wird wie oben. Überhaupt gelten für den im statischen Schwerefelde bewegten materiellen Punkt die Gleichungen (2) . Die rechte Seite von (3) stellt die vom Gravitationsfelde auf den Massenpunkt ausgeübte Kraft K x dar. Für den Spezialfall der Ruhe ( q = 0 ) ist K x = − m ∂ c ∂ x . Hieraus erkennt man, daß c die Rolle des Gravitationspotentials spielt. Aus (2) folgt für einen langsam bewegten Punkt ( 4 ) J x = m x ˙ c , E − m c = 1 2 m q 2 c . Bei gegebener Geschwindigkeit sind also Impuls und kinetische Energie der Größe c umgekehrt proportional; anders ausgedrückt: Die träge Masse, so wie sie in Impuls und Energie eingeht, ist m c , wobei m eine für den Massenpunkt charakteristische, vom Gravitationspotential unabhängige Konstante bedeutet. Es paßt dies zu M a c h s kühnem Gedanken, daß die Trägheit in einer Wechselwirkung des betrachteten Massenpunktes mit allen übrigen ihren Ursprung habe; denn häufen wir Massen in der Nähe des betrachteten Massenpunktes an, so verkleinern wir damit das Gravitationspotential c , erhöhen also die für die Trägheit maßgebende Größe m c . § 2. Gleichungen fur die Bewegung des materiellen Punktes im beliebigen Schwerefeld. Charakterisierung des letzteren. Mit der Einführung einer räumlichen Veränderlichkeit der Größe c haben wir den Rahmen der gegenwärtig als ” Relativitätstheorie“ bezeichneten Theorie durchbrochen; denn es verhält sich nun der mit d s bezeichnete Ausdruck orthogonalenlinearen Transformationen der Koordinaten gegenüber nicht mehr als Invariante. Soll also — woran nicht zu zweifeln ist — das Relativitätsprinzip aufrecht erhalten werden, so müssen wir die Relativitätstheorie derart verallgemeinern, daß sie die im vorigen in ihren Elementen angedeutete Theorie des statischen Schwerefeldes als Spezialfall enthält. 4 Führen wir ein neues Raum-Zeitsystem K ′ ( x ′ , y ′ , z ′ , t ′ ) ein durch irgend eine Substitution x ′ = x ′ ( x , y , z , t ) y ′ = y ′ ( x , y , z , t ) z ′ = z ′ ( x , y , z , t ) t ′ = t ′ ( x , y , z , t ) , und war das Schwerefeld im ursprünglichen System K ein statisches, so geht bei dieser Substitution die Gleichung (1) in eine Gleichung von der Form δ { ∫ d s ′ } = 0 über, wobei d s ′ 2 = g 11 d x ′ 2 + g 22 d y ′ 2 + . . . + 2 g 12 d x ′ d y ′ + . . . gesetzt ist, und die Größen g μ ν Funktionen von x ′ , y ′ , z ′ , t ′ sind. Setzen wir x 1 , x 2 , x 3 , x 4 statt x ′ , y ′ , z ′ , t ′ und schreiben wir wieder d s statt d s ′ , so erhalten die Bewegungsgleichungen des materiellen Punktes in bezug auf K ′ die Gestalt ( 1 ” ) { δ { ∫ d s } = 0 , wobei d s 2 = ∑ μ ν g μ ν d x μ d x ν . } . Wir gelangen so zu der Auffassung, d a ß i m a l l g e m e i n e n F a l l e d a s G r a v i t a t i o n s f e l d d u r c h z e h n R a u m Z e i t F u n k t i o n e n c h a r a k t e r i s i e r t i s t, welche sich im Falle der gewöhnlichen Relativitätstheorie auf reduzieren, wobei c eine Konstante bedeutet. Dieselbe Art der Degeneration zeigt sich bei dem statischen Schwerefelde der vorhin betrachteten Art, nur daß bei diesem g 44 = c 2 eine Funktion von x 1 , x 2 , x 3 ist. Die Hamiltonsche Funktion H hat daher im allgemeinen Fall den Wert ( 5 ) H = − m d s d t = − m 2 g 11 x ˙ 1 2 + ⋅ + ⋅ + 2 g 12 x ˙ 1 x ˙ 2 + ⋅ + ⋅ + 2 g 14 x ˙ 1 + ⋅ + ⋅ + g 44 . Die zugehörigen Lagrangeschen Gleichungen 5 ( 6 ) d d t ( ∂ H ∂ x ˙ ) − ∂ H ∂ x = 0 ergeben sofort den Ausdruck für den Impuls J des Punktes und für die vom Schwerefelde auf ihn ausgeübte Kraft K : ( 7 ) J x = − m g 11 x ˙ 1 + g 12 x ˙ 2 + g 13 x ˙ 3 + g 14 d s d t = − m g 11 d x 1 + g 12 d x 2 + g 13 d x 3 + g 14 d x 4 d s ( 8 ) K x = − 1 2 m ∑ μ ν ∂ g μ ν ∂ x 1 d x μ d x ν d s ⋅ d t = − 1 2 m ⋅ ∑ μ ν ∂ g μ ν ∂ x 1 ⋅ d x μ d s ⋅ d x ν d s Ferner ergibt sich für die Energie E des Punktes ( 9 ) − E = − ( x ˙ ∂ H ∂ x ˙ + ⋅ + ⋅ ) + H = − m ( g 41 d x 1 d s + g 42 d x 2 d s + g 43 d x 3 d s + g 44 d x 4 d s ) . Im Falle der gewöhnlichen Relativitätstheorie sind nur lineare orthogonale Substitutionen zulässig. Es wird sich zeigen, daß wir für die Einwirkung des Schwerefeldes auf die materiellen Vorgänge Gleichungen aufzustellen vermögen, die beliebigen Substitutionen gegenüber sich kovariant verhalten. Zunächst können wir aus der Bedeutung, welche d s im Bewegungsgesetz des materiellen Punktes spielt, den Schluß ziehen, daß d s eine absolute Invariante (Skalar) sein muß; hieraus ergibt sich, daß die Größen g μ ν einen kovarianten Tensor zweiten Ranges bilden , den wir als den kovarianten Fundamentaltensor bezeichnen. Dieser bestimmt das Schwerefeld. Es ergibt sich ferner aus (7) und (9) , daß Impuls und Energie des materiellen Punktes zusammen einen kovarianten Tensor ersten Ranges, d. h. einen kovarianten Vektor bilden. § 3. Bedeutung des Fundamentaltensors der g μ ν fur die Messung von Raum und Zeit. Aus dem Früheren kann man schon entnehmen, daß zwischen den Raum-ZeitKoordinaten x 1 , x 2 , x 3 , x 4 und den mittelst Maßstäben und Uhren zu erhaltenden Meßergebnissen keine so einfachen Beziehungen bestehen können, wie in der alten Relativitätstheorie. Es ergab sich dies bezüglich der Zeit schon beim statischen Schwerefelde. Es erhebt sich deshalb die Frage nach der physikalischen Bedeutung (prinzipiellen Meßbarkeit) der Koordinaten x 1 , x 2 , x 3 , x 4 . Hierzu bemerken wir, daß d s als invariantes Maß für den Abstand zweier unendlich benachbarter Raumzeitpunkte aufzufassen ist. Es muß daher d s auch eine vom gewählten Bezugssystem unabhängige physikalische Bedeutung zukommen. Wir nehmen an, d s sei der ” natürlich gemessene“ Abstand beider Raumzeitpunkte und wollen darunter folgendes verstehen. Die unmittelbare Nachbarschaft des Punktes ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) wird bezüglich des Koordinatensystems durch die infinitesimalen Variabeln d x 1 , d x 2 , d x 3 , d x 4 bestimmt. Wir denken uns statt dieser durch eine lineare Transformation neue Variable d ξ 1 , d ξ 2 , d ξ 3 , d ξ 4 eingeführt, derart, daß 6 d s 2 = d ξ 1 2 + d ξ 2 2 + d ξ 3 2 − d ξ 4 2 wird. Bei dieser Transformation sind die g μ ν als Konstanten zu betrachten; der reelle Kegel d s 2 = 0 erscheint auf seine Hauptachsen bezogen. In diesem elementaren d ξ -System gilt dann die gewöhnliche Relativitätstheorie, und es sei in diesem System die physikalische Bedeutung von Längen und Zeiten dieselbe wie in der gewöhnlichen Relativitätstheorie, d. h. d s 2 ist das Quadrat des vierdimensionalen Abstandes beider unendlich benachbarter Raumzeitpunkte, gemessen mittelst eines im d ξ -System nicht beschleunigten starren Körpers und mittelst relativ zu diesem ruhend angeordneter Einheitsmaßstäbe und Uhren. Man sieht hieraus, daß bei gegebenen d x 1 , d x 2 , d x 3 , d x 4 der zu diesen Differentialen gehörige natürliche Abstand nur dann ermittelt werden kann, wenn die das Gravitationsfeld bestimmenden Größen g μ ν bekannt sind. Man kann dies auch so ausdrücken: Das Gravitationsfeld beeinflußt die Meßkörper und Uhren in bestimmter Weise. Aus der Fundamentalgleichung d s 2 = ∑ μ ν g μ ν d x μ d x ν sieht man, daß es zur Festlegung der physikalischen Dimension der Größen g μ ν und x ν noch einer Festsetzung bedarf. Der Größe d s kommt die Dimension einer Länge zu. Wir wollen die x ν ebenfalls als Längen ansehen (auch x 4 ), den Größen g μ ν also keine physikalische Dimension zuschreiben. § 4. Bewegung kontinuierlich verteilter inkoharenter Massen im beliebigen Schwerefeld. Zur Ableitung des Bewegungsgesetzes kontinuierlich verteilter inkohärenter Massen berechnen wir Impuls und ponderomotorische Kraft pro Volumeneinheit und wenden hierauf den Impulssatz an. Dazu haben wir zunächst das dreidimensionale Volumen V unseres Massenpunktes zu berechnen. Wir betrachten ein unendlich kleines (vierdimensionales) Stück des Raumzeitfadens unseres materiellen Punktes. Sein Volumen ist ∫ ∫ ∫ ∫ d x 1 d x 2 d x 3 d x 4 = V d t Führen wir statt der d x die natürlichen Differentiale d ξ ein, wobei der Meßkörper als gegen den materiellen Punkt ruhend angenommen wird, so haben wir 7 ∫ ∫ ∫ d ξ 1 d ξ 2 d ξ 3 = V 0 zu setzen, d. h. gleich dem ” Ruhvolumen“ des materiellen Punktes. Ferner haben wir ∫ d ξ 4 = d s , wo d s dieselbe Bedeutung hat wie oben. Sind die d x mit den d ξ verbunden durch die Substitution d x μ = ∑ σ α μ σ d ξ σ , so hat man ∫ ∫ ∫ ∫ d x 1 d x 2 d x 3 d x 4 = ∫ ∫ ∫ ∫ ∂ ( d x 1 , d x 2 , d x 3 , d x 4 ) ∂ ( d ξ 1 , d ξ 2 , d ξ 3 , d ξ 4 ) ⋅ d ξ 1 d ξ 2 d ξ 3 d ξ 4 oder V d t = V 0 d s ⋅ | α ρ σ | . Da aber d s 2 = ∑ μ ν g μ ν d x μ d x ν = ∑ μ ν ρ σ g μ ν α μ ρ α ν σ d ξ ρ d ξ σ = d ξ 1 2 + d ξ 2 2 + d ξ 3 2 − d ξ 4 2 ist, so besteht zwischen der Determinante g = | g μ ν | , d. h. der Diskriminante der quadratischen Differentialform d s 2 und der Substitutionsdeterminante | α ρ σ | die Beziehung g ⋅ ( | α ρ σ | ) 2 = − 1 , | α ρ σ | = 1 2 − g . Man erhält also für V die Beziehung 8 V d t = V 0 d s ⋅ 1 2 − g . Hieraus ergibt sich mit Hilfe von (7) , (8) und (9) wenn man m V 0 durch ρ 0 ersetzt J x V = − ρ 0 2 − g ⋅ ∑ ν g 1 ν d x ν d s ⋅ d x 4 d s , − E V = − ρ 0 2 − g ⋅ ∑ ν g 4 ν d x ν d s ⋅ d x 4 d s , K x V = − 1 2 ρ 0 2 − g ⋅ ∑ μ ν ∂ g μ ν ∂ x 1 ⋅ d x μ d s ⋅ d x ν d s . Wir bemerken, daß Θ μ ν = ρ 0 d x μ d s ⋅ d x ν d s ein kontravarianter Tensor zweiten Ranges bezüglich beliebiger Substitutionen ist. Man vermutet aus dem Vorhergehenden, daß der Impuls-Energiesatz die Form haben wird: ( 10 ) ∑ μ ν ∂ ∂ x ν ( 2 − g ⋅ g σ μ Θ μ ν ) − 1 2 ∑ μ ν 2 − g ⋅ ∂ g μ ν ∂ x σ Θ μ ν = 0 . ( σ = 1 , 2 , 3 , 4 ) Die ersten drei dieser Gleichungen ( σ = 1 , 2 , 3 ) drücken den Impulssatz, die letzte ( σ = 4 ) den Energiesatz aus. Es erweist sich in der Tat, daß diese Gleichungen beliebigen Substitutionen gegenüber kovariant sind. Ferner lassen sich die Bewegungsgleichungen des materiellen Punktes, von denen wir ausgegangen sind, aus diesen Gleichungen durch Integration über den Stromfaden wieder ableiten. Den Tensor Θ μ ν nennen wir den (kontravarianten) S p a n n u n g s E n e r g i e t e n s o r d e r m a t e r i e l l e n S t r ö m u n g. Der Gleichung (10) schreiben wir einen Gültigkeitsbereich zu, der über den speziellen Fall der Strömung inkohärenter Massen weit hinausgeht. Die Gleichung stellt allgemein die Energiebilanz zwischen dem Gravitationsfelde und einem beliebigen materiellen Vorgang dar; nur ist für Θ μ ν der dem jeweilen betrachteten materiellen System entsprechende Spannungs-Energietensor einzusetzen. Die erste Summe in der Gleichung enthält die örtlichen Ableitungen der Spannungen bzw. Energiestromdichte und die zeitlichen Ableitungen der Impuls-bzw. Energiedichte; die zweite Summe ist ein Ausdruck für die Wirkungen, welche vom Schwerefelde auf den materiellen Vorgang übertragen werden. 9 § 5. Die Differentialgleichungen des Gravitationsfeldes. Nachdem wir die Impuls-Energiegleichung für die materiellen Vorgänge (mechanische, elektrische und andere Vorgänge) mit bezug auf das Gravitationsfeld aufgestellt haben, bleibt uns noch folgende Aufgabe. Es sei der Tensor Θ μ ν für den materiellen Vorgang gegeben. Welches sind die Differentialgleichungen, welche die Größen g i j , d. h. das Schwerefeld zu bestimmen gestatten? Wir suchen mit anderen Worten die Verallgemeinerung der P o i s s o nschen Gleichung Δ φ = 4 π k ρ . Zur Lösung dieser Aufgabe haben wir keine so vollkommen zwangläufige Methode gefunden, wie für die Lösung des vorhin behandelten Problems. Es war nötig, einige Annahmen einzuführen, deren Richtigkeit zwar plausibel erscheint, aber doch nicht evident ist. Die gesuchte Verallgemeinerung wird wohl von der Form sein ( 11 ) ϰ ⋅ Θ μ ν = Γ μ ν wo ϰ eine Konstante, Γ μ ν ein kontravarianter Tensor zweiten Ranges ist, der durch Differentialoperationen aus dem Fundamentaltensor g μ ν hervorgeht. Dem N e w t o n-P o i s s o nschen Gesetz entsprechend wird man geneigt sein zu fordern, daß diese Gleichungen (11) z w e i t e r Ordnung sein sollen. Es muß aber hervorgehoben werden, daß es sich als unmöglich erweist, unter dieser Voraussetzung einen Differentialausdruck Γ μ ν zu finden, der eine Verallgemeinerung von Δ φ ist, und sich b e l i e b i g e n Transformationen gegenüber als T e n s o r erweist. A priori kann allerdings nicht in Abrede gestellt werden, daß die endgültigen, genauen Gleichungen der Gravitation von höherer als zweiter Ordnung sein könnten. Es besteht daher immer noch die Möglichkeit, daß die vollkommen exakten Differentialgleichungen der Gravitation b e l i e b i g e n Substitutionen gegenüber kovariant sein könnten. Der Versuch einer Diskussion derartiger Möglichkeiten wäre aber bei dem gegenwärtigen Stande unserer Kenntnis der physikalischen Eigenschaften des Gravitationsfeldes verfrüht. Deshalb ist für uns die Beschränkung auf die zweite Ordnung geboten und wir müssen daher darauf verzichten, Gravitationsgleichungen aufzustellen, die sich beliebigen Transformationen gegenüber als kovariant erweisen. Es ist übrigens hervorzuheben, daß wir keinerlei Anhaltspunkte für eine allgemeine Kovarianz der Gravitationsgleichungen haben. Der L a p l a c esche Skalar Δ φ ergibt sich aus dem Skalar φ , indem man von diesem die Erweiterung (den Gradienten), und dann von diesem den inneren Operator (die Divergenz) bildet. Beide Operationen kann man derart verallgemeinern, daß sie an jedem Tensor von beliebig hohem Rang ausgeführt werden können, und zwar unter Zulassung beliebiger Substitutionen der Grundvariabeln. Aber es degenerieren diese Operationen, wenn sie an dem Fundamentaltensor g μ ν ausgeführt werden. Es scheint daraus hervorzugehen, daß die gesuchten Gleichungen nur bezüglich einer gewissen Gruppe von Transformationen kovariant sein werden, welche Gruppe uns aber vorläufig unbekannt ist. 10 Bei dieser Sachlage erscheint es mit Rücksicht auf die alte Relativitätstheorie natürlich, anzunehmen, d a ß i n d e r g e s u c h t e n T r a n s f o r m a t i o n s g r u p p e d i e l i n e a r e n T r a n s f o r m a t i o n e n e n t h a l t e n s e i e n. Wir fordern also, daß Γ μ ν ein Tensor bezüglich beliebiger linearer Transformationen sein soll. Man beweist nun leicht (durch Ausführung der Transformation) die folgenden Sätze: 1. Ist Θ α β ⋯ λ ein kontravarianter Tensor vom Range n bezüglich linearer Transformationen, so ist ∑ μ γ μ ν ∂ Θ α β ⋯ λ d x μ ein kontravarianter Tensor vom Range n + 1 bezüglich linearer Transformationen (Erweiterung). 2. Ist Θ α β ⋯ λ ein kontravarianter Tensor vom Range n bezüglich linearer Transformationen, so ist ∑ λ ∂ Θ α β ⋯ λ d x λ ein kontravarianter Tensor vom Range n − 1 bezüglich linearer Transformationen (Divergenz). Führt man an einem Tensor der Reihe nach diese beiden Operationen aus, so erhält man einen Tensor, der wiederum vom gleichen Range ist, wie der ursprüngliche (Operation Δ , an einem Tensor vorgenommen). Für den Fundamental-Tensor erhält man ( a ) ∑ α β ∂ ∂ x α ( γ α β ∂ γ μ ν ∂ x β ) . Daß dieser Operator mit dem L a p l a c eschen Operator verwandt ist, erkennt man ferner durch folgende Betrachtung. In der Relativitätstheorie (Fehlen des Gravitationsfeldes), wäre zu setzen g 11 = g 22 = g 33 = − 1 , g 44 = c 2 , g μ ν = 0 , fur μ ≠ ν ; also γ 11 = γ 22 = γ 33 = − 1 , γ 44 = 1 c 2 , γ μ ν = 0 , fur μ ≠ ν . 11 Ist ein Gravitationsfeld vorhanden, welches genügend schwach ist, d. h. unterscheiden sich die g μ ν und γ μ ν von den soeben angegebenen Werten nur unendlich wenig, so erhält man an Stelle des Ausdruckes (a) unter Vernachlässigung der Glieder vom zweiten Grade − ( ∂ 2 γ μ ν ∂ x 1 2 + ∂ 2 γ μ ν ∂ x 2 2 + ∂ 2 γ μ ν ∂ x 3 2 − 1 c 2 ∂ 2 γ μ ν ∂ x 4 2 ) . Ist das Feld ein statisches und nur g 44 variabel, so kommen wir also auf den Fall der N e w t o nschen Gravitationstheorie, falls wir den gebildeten Ausdruck bis auf eine Konstante für die Größe Γ μ ν setzen. Man könnte demnach denken, es müsse der Ausdruck (a) bis auf einen konstanten Faktor bereits die gesuchte Verallgemeinerung von Δ φ sein. Dies wäre aber ein Irrtum; denn es könnten neben jenem Ausdruck noch solche Terme in einer derartigen Verallgemeinerung auftreten, die selbst Tensoren sind und bei Durchführung der eben angeführten Vernachlässigungen verschwinden. Es tritt dies immer dann ein, wenn zwei erste Ableitungen der g μ ν bzw. γ μ ν miteinander multipliziert erscheinen. So ist z. B. ∑ α β ∂ g α β ∂ x μ ⋅ ∂ γ α β ∂ x ν ein kovarianter Tensor zweiten Ranges (gegenüber linearen Transformationen); derselbe wird unendlich klein zweiter Ordnung, wenn die Größen g α β und γ α β von Konstanten nur um Unendlich-Kleine erster Ordnung abweichen. Wir müssen daher zulassen, daß in Γ μ ν neben (a) noch andere Terme auftreten, die vorläufig nur die Bedingung erfüllen müssen, daß sie zusammen linearen Transformationen gegenüber Tensorcharakter besitzen müssen. Zur Auffindung dieser Terme dient uns der Impulsenergiesatz. Damit die benutzte Methode klar hervortrete, will ich sie zunächst an einem allgemein bekannten Beispiel anwenden. In der E l e k t r o s t a t i k ist − ∂ φ ∂ x ν ρ die ν t e Komponente des pro Volumeneinheit auf die Materie übertragenen Impulses, falls φ das elektrostatische Potential, ρ die elektrische Dichte bedeutet. Es ist eine Differentialgleichung für φ gesucht, derart, daß der Impulssatz stets erfüllt ist. Es ist wohlbekannt, daß die Gleichung ∑ ν ∂ 2 φ ∂ x ν 2 = ρ die Aufgabe löst. Daß der Impulssatz erfüllt ist, geht hervor aus der Identität 12 ∑ μ ∂ ∂ x μ ( ∂ φ ∂ x ν ∂ φ ∂ x μ ) − ∂ ∂ x ν ( 1 2 ∑ μ ( ∂ φ ∂ x μ ) 2 ) = ∂ φ ∂ x ν ∑ μ ∂ 2 φ ∂ x μ 2 ( = − ∂ φ ∂ x ν ⋅ ρ ) . Wenn also der Impulssatz erfüllt ist, muß für jedes ν eine identische Gleichung von folgendem Bau existieren: Auf der rechten Seite steht − ∂ φ ∂ x ν multipliziert mit der der linken Seite der Differentialgleichung, auf der linken Seite der Identität steht eine Summe von Differentialquotienten. Wäre die Differentialgleichung für φ noch nicht bekannt, so ließe sich das Problem von deren Auffindung auf dasjenige der Auffindung jener identischen Gleichung zurückführen. Es ist nun für uns die Erkenntnis wesentlich, daß jene Identität sich ableiten läßt, w e n n e i n e r d e r i n i h r a u f t r e t e n d e n T e r m e b e k a n n t i s t. Man hat nichts weiteres zu tun, als die Regel von der Differentiation eines Produktes in den Formen ∂ ∂ x ν ( u v ) = ∂ u ∂ x ν v + ∂ v ∂ x ν u und u ∂ v ∂ x ν = ∂ ∂ x ν ( u v ) − ∂ u ∂ x ν v wiederholt anzuwenden und schließlich die Glieder, welche Differentialquotienten sind, auf die linke Seite, die übrigen auf die rechte Seite zu stellen. Geht man z. B. von dem ersten Glied der obigen Identität aus, so erhält man der Reihe nach ∑ μ ∂ ∂ x μ ( ∂ φ ∂ x ν ∂ φ ∂ x μ ) = ∑ μ ∂ φ ∂ x ν ⋅ ∂ 2 φ ∂ x μ 2 + ∑ μ ∂ φ ∂ x μ ⋅ ∂ 2 φ ∂ x ν ∂ x μ = ∂ φ ∂ x ν ⋅ ∑ μ ∂ 2 φ ∂ x μ 2 + ∂ ∂ x ν { 1 2 ∑ μ ( ∂ φ ∂ x μ ) 2 } , woraus durch Anordnen die obige Identität hervorgeht. Wir wenden uns nun unserem Problem wieder zu. Aus Gleichung (10) geht hervor, daß 1 2 ∑ μ ν 2 − g ⋅ ∂ g μ ν ∂ x σ Θ μ ν , ( σ = 1 , 2 , 3 , 4 ) der pro Volumeneinheit auf die Materie vom Gravitationsfeld übertragene Impuls (bzw. Energie) ist. Damit der Energie-Impulssatz erfüllt sei, müssen die Differentialausdrücke Γ μ ν der Fundamentalgrößen γ μ ν , welche in die Gravitationsgleichungen ϰ ⋅ Θ μ ν = Γ μ ν eingehen, so gewählt werden, daß 13 1 2 ϰ ∑ μ ν 2 − g ⋅ ∂ g μ ν ∂ x σ Γ μ ν sich derart umformen läßt, daß er als Summe von Differentialquotienten erscheint. Es ist andererseits bekannt, daß in dem für Γ μ ν zu suchenden Ausdruck der Term (a) erscheint. Die gesuchte identische Gleichung ist also von folgender Gestalt: Summe von Differentialquotienten = 1 2 ∑ μ ν 2 − g ⋅ ∂ g μ ν ∂ x σ { ∑ α β ∂ ∂ x α ( γ α β ∂ γ μ ν ∂ x β ) + weitere Glieder, die bei Bildung der ersten Annaherung wegfallen ~ . Hierdurch ist die gesuchte Identität eindeutig bestimmt; bildet man sie nach dem angedeuteten Verfahren , so erhält man: ( 12 ) { ∑ α β τ ρ ∂ ∂ x α ( 2 − g ⋅ γ α β ∂ γ τ ρ ∂ x β ⋅ ∂ g τ ρ ∂ x σ ) − 1 2 ∑ α β τ ρ ∂ ∂ x σ ( 2 − g ⋅ γ α β ∂ γ τ ρ ∂ x α ⋅ ∂ g τ ρ ∂ x β ) = ∑ μ ν 2 − g ⋅ ∂ g μ ν ∂ x σ { ∑ α β 1 2 − g ⋅ ∂ ∂ x α ( γ α β 2 − g ⋅ ∂ γ μ ν ∂ x β ) − ∑ α β τ ρ γ α β g τ ρ ∂ γ μ τ ∂ x α ∂ γ ν ρ ∂ x β } + 1 2 ∑ α β τ ρ γ α μ γ β ν ∂ g τ ρ ∂ x α ∂ γ τ ρ ∂ x β − 1 4 ∑ α β τ ρ γ μ ν γ α β ∂ g τ ρ ∂ x α ∂ γ τ ρ ∂ x β } . Der in der geschweiften Klammer der rechten Seite stehende Ausdruck ist demnach der von uns gesuchte Tensor, der in die Gravitationsgleichungen ϰ Θ μ ν = Γ μ ν eintritt. Um diese Gleichungen besser überblicken zu können, führen wir folgende Abkürzungen ein: ( 13 ) − 2 ϰ ⋅ ϑ μ ν = ∑ α β τ ρ ( γ α μ γ β ν ∂ g τ ρ ∂ x α ⋅ ∂ γ τ ρ ∂ x β − 1 2 γ μ ν γ α β ∂ g τ ρ ∂ x α ∂ γ τ ρ ∂ x β ) . ϑ μ ν sei als ” k o n t r a v a r i a n t e r S p a n n u n g s E n e r g i e t e n s o r d e s G r a v i t a t i o n s f e l d e s“ bezeichnet. Den zu ihm reziproken kovarianten Tensor bezeichnen wir mit t μ ν ; es ist also 14 ( 14 ) − 2 ϰ ⋅ t μ ν = ∑ α β τ ρ ( ∂ g τ ρ ∂ x μ ∂ γ τ ρ ∂ x ν − 1 2 g μ ν γ α β ∂ g τ ρ ∂ x α ∂ γ τ ρ ∂ x β ) . Ebenfalls zur Abkürzung führen wir folgende Bezeichnungen ein für Differentialoperationen, ausgeführt an den Fundamentaltensoren γ bzw. g : ( 15 ) Δ μ ν ( γ ) = ∑ α β 1 2 − g ⋅ ∂ ∂ x α ( γ α β 2 − g ⋅ ∂ γ μ ν ∂ x β ) − ∑ α β τ ρ γ α β g τ ρ ∂ γ μ τ ∂ x α ∂ γ ν ρ ∂ x β bzw. ( 16 ) D μ ν ( g ) = ∑ α β 1 2 − g ⋅ ∂ ∂ x α ( γ α β 2 − g ⋅ ∂ g μ ν ∂ x β ) − ∑ α β τ ρ γ α β γ τ ρ ∂ g μ τ ∂ x α ∂ g ν ρ ∂ x β Jeder dieser Operatoren liefert wieder einen Tensor der gleichen Art (bezügl. linearer Transformationen). Bei Verwendung dieser Abkürzungen nimmt die Identität (12) die Form an: ( 12 a ) ∑ μ ν ∂ ∂ x ν { 2 − g ⋅ g σ μ ⋅ ϰ ϑ μ ν ~ = 1 2 ∑ μ ν 2 − g ⋅ ∂ g μ ν ∂ x σ { − Δ μ ν ( γ ) + ϰ ϑ μ ν ~ , oder auch ( 12 b ) ∑ μ ν ∂ ∂ x ν { 2 − g ⋅ γ μ ν ⋅ ϰ t μ σ ~ = 1 2 ∑ μ ν 2 − g ⋅ ∂ γ μ ν ∂ x σ { − D μ ν ( g ) − ϰ t μ ν ~ . Schreiben wir die Erhaltungsgleichung (10) der Materie und die Erhaltungsgleichung (12 a) für das Gravitationsfeld in der Form ( 10 ) ∑ μ ν ∂ ∂ x ν ( 2 − g ⋅ g σ μ ⋅ Θ μ ν ) − 1 2 ∑ μ ν 2 − g ⋅ ∂ g μ ν ∂ x σ ⋅ Θ μ ν = 0 ( 12 c ) ∑ μ ν ∂ ∂ x ν ( 2 − g ⋅ g σ μ ⋅ ϑ μ ν ) − 1 2 ∑ μ ν 2 − g ⋅ ∂ g μ ν ∂ x μ ⋅ ϑ μ ν = − 1 2 ϰ ∑ μ ν 2 − g ⋅ ∂ g μ ν ∂ x σ ⋅ Δ μ ν ( γ ) , so erkennt man, daß der Spannungs-Energie-Tensor des Gravitationsfeldes ϑ μ ν in den Erhaltungssatz für das Gravitationsfeld genau ebenso eintritt, wie der Tensor Θ μ ν des materiellen Vorganges in den Erhaltungssatz für diesen Vorgang, ein bemerkenswerter Umstand bei der Verschiedenheit der Ableitungen beider Sätze. Aus der Gleichung (12a) folgt als Ausdruck für den Differentialtensor, der in die Gravitationsgleichungen eingeht ( 17 ) Γ μ ν = Δ μ ν ( γ ) − ϰ ⋅ ϑ μ ν . Die Gravitationsgleichungen (11) lauten also ( 18 ) Δ μ ν ( γ ) = ϰ ( Θ μ ν + ϑ μ ν ) . 15 Diese Gleichungen erfüllen eine Forderung, die unseres Erachtens an eine Relativitätstheorie der Gravitation notwendig gestellt werden muß; sie zeigen nämlich, daß der Tensor ϑ μ ν des Gravitationsfeldes in gleicher Weise felderregend auftritt, wie der Tensor Θ μ ν der materiellen Vorgänge. Eine Ausnahmestellung der Gravitationsenergie gegenüber allen anderen Energiearten würde ja zu unhaltbaren Konsequenzen führen. Durch Addition der Gleichungen (10) und (12a) findet man mit Rücksicht auf die Gleichung (18) ( 19 ) ∑ μ ν ∂ ∂ x ν { 2 − g ⋅ g σ μ ( Θ μ ν + ϑ μ ν ) ~ = 0 . ( σ = 1 , 2 , 3 , 4 ) H i e r a u s e r s i e h t m a n , d a ß f ü r M a t e r i e u n d G r a v i t a t i o n s f e l d z u s a m m e n d i e E r h a l t u n g s s ä t z e g e l t e n . Bei der bisher gegebenen Darstellung haben wir die kontravarianten Tensoren bevorzugt, weil sich der kontravariante Spannnungsenergietensor der Strömung inkohärenter Massen in besonders einfacher Weise ausdrücken läßt. Indessen können wir die gewonnenen Fundamentalbeziehungen ebenso einfach unter Benutzung kovarianter Tensoren ausdrücken. Statt Θ μ ν haben wir dann T μ ν = ∑ α β g μ α g ν β Θ α β als Spannungs-Energietensor des materiellen Vorganges zugrunde zu legen. Statt Gleichung (10) erhalten wir durch gliedweise Umformung ( 20 ) ∑ μ ν ∂ ∂ x ν ( 2 − g ⋅ γ μ ν T μ σ ) + 1 2 ∑ μ ν 2 − g ⋅ ∂ γ μ ν ∂ x σ ⋅ T μ ν = 0 . Aus dieser Gleichung und (16) folgt, daß die Gleichungen des Gravitationsfeldes auch in der Form ( 21 ) − D μ ν ( g ) = ϰ ( t μ ν + T μ ν ) geschrieben werden können, welche Gleichungen auch direkt aus (18) abgeleitet werden können. Analog (19) besteht die Beziehung ( 22 ) ∑ ν ∂ ∂ x ν { 2 − g ⋅ γ σ μ ( T μ ν + t μ ν ) ~ = 0 . § 6. Einfluß des Gravitationsfeldes auf physikalische Vorgange, speziell auf die elektromagnetischen Vorgange. Weil bei jeglichem physikalischen Vorgang Impuls und Energie eine Rolle spielen, diese letzteren aber ihrerseits das Gravitationsfeld bestimmen und von ihm beeinflußt werden, müssen die das Schwerefeld bestimmenden Größen g μ ν in allen physikalischen Gleichungssystemen auftreten. So haben wir gesehen, daß die Bewegung des materiellen Punktes durch die Gleichung 16 δ { ∫ d s } = 0 bestimmt ist, wobei d s 2 = ∑ μ ν g μ ν d x μ d x ν . d s ist eine Invariante beliebigen Substitutionen gegenüber. Die gesuchten Gleichungen, welche den Ablauf irgend eines physikalischen Vorganges bestimmen, müssen nun so gebaut sein, daß die Invarianz von d s die Kovarianz des betreffenden Gleichungssystems zur Folge hat. Bei der Verfolgung dieser allgemeinen Aufgaben stoßen wir aber zunächst auf eine prinzipielle Schwierigkeit. Wir wissen nicht, bezüglich welcher Gruppe von Transformationen die gesuchten Gleichungen kovariant sein müssen. Am natürlichsten erscheint es zunächst, zu verlangen, daß die Gleichungssysteme b e l i e b i g e n Transformationen gegenüber kovariant sein sollen. Dem steht aber entgegen, daß die von uns aufgestellten Gleichungen des Gravitationsfeldes diese Eigenschaft nicht besitzen. Wir haben für die Gravitationsgleichungen nur beweisen können, daß sie beliebigen l i n e a r e n Transformationen gegenüber kovariant sind; wir wissen aber nicht, ob es eine allgemeine Transformationsgruppe gibt, der gegenüber die Gleichungen kovariant sind. Die Frage nach der Existenz einer derartigen Gruppe für das Gleichungssystem (18) bzw. (21) ist die wichtigste, welche sich an die hier gegebenen Ausführungen anknüpft. Jedenfalls sind wir bei dem gegenwärtigen Stande der Theorie nicht berechtigt, die Kovarianz physikalischer Gleichungen beliebigen Substitutionen gegenüber zu fordern. Anderseits aber haben wir gesehen, daß sich eine Energie-Impuls-Bilanzgleichung für materielle Vorgänge hat aufstellen lassen (§ 4, Gleichung 10), welche beliebige Transformationen gestattet. Es scheint deshalb doch natürlich, wenn wir voraussetzen, daß alle physikalischen Gleichungssysteme mit Ausschluß der Gravitationsgleichungen so zu formulieren sind, daß sie beliebigen Substitutionen gegenüber kovariant sind. Die diesbezügliche Ausnahmestellung der Gravitationsgleichungen gegenüber allen anderen Systemen hängt nach meiner Meinung damit zusammen, daß nur erstere zweite Ableitungen der Komponenten des Fundamentaltensors enthalten dürften. Die Aufstellung derartiger Gleichungssysteme erfordert die Hilfsmittel der verallgemeinerten Vektoranalysis, wie sie im 7. Teil dargestellt ist. Wir beschränksn uns hier daranf, anzugeben, wie man auf diesem Wege die elektromagnetischen Feldgleichungen für das Vakuum gewinnt. Wir gehen davon aus, daß die elektrische Ladung als etwas unveränderliches anzusehen ist. Ein unendlich kleiner, beliebig bewegter Körper habe die Ladung e und für einen mitbewegten Körper das Volumen d V 0 (Ruhvolumen). Wir definieren e d V 0 = ρ 0 als die wahre Dichte der Elektrizität; diese ist ihrer Definition nach ein Skalar. Es ist daher ρ 0 d x ν d s ( ν = 1 , 2 , 3 , 4 ) ein kontravarianter Vierervektor, den wir umformen, indem wir die Dichte ρ der Elektrizität, aufs Koordinatensystem bezogen, durch die Gleichung 17 ρ 0 d V 0 = ρ d V definieren. Unter Benutzung der Gleichung d V 0 d s = 2 − g ⋅ d V ⋅ d t des § 4erhält man ρ 0 d x ν d s = 1 2 − g ρ d x ν d t , d. h. den kontravarianten Vektor der elektrischen Strömung. Das elektromagnetische Feld führen wir zurück auf einen speziellen, kontravarianten Tensor zweiten Ranges φ μ ν (einen Sechservektor) und bilden den ” dualen“ kontravarianten Tensor zweiten Ranges φ μ ν ∗ nach der Methode, die im 7. Teil, § 3, auseinandergesetzt ist (Formel 42). Die Divergenz eines speziellen kontravarianten Tensors zweiten Ranges ist nach Formel 40des 7. Teiles, § 3 1 2 − g ∑ ν ∂ ∂ x ν ( 2 − g ⋅ φ μ ν ) . Als Verallgemeinerung der M a x w e l l L o r e n t z s c h e n Feldgleichungen setzen wir die Gleichungen an ( 23 ) ∑ ν ∂ ∂ x ν ( 2 − g ⋅ φ μ ν ) = ρ d x μ d t , ( d t = d x 4 ) ( 24 ) ∑ ν ∂ ∂ x ν ( 2 − g ⋅ φ μ ν ∗ ) = 0 , deren Kovarianz demnach evident ist. Setzen wir 2 − g ⋅ φ 23 = ℌ x , 2 − g ⋅ φ 31 = ℌ y , 2 − g ⋅ φ 12 = ℌ z ; 2 − g ⋅ φ 14 = − E x , 2 − g ⋅ φ 24 = − E y , 2 − g ⋅ φ 34 = − E z , und 18 ρ d x μ d t = u μ , so nimmt das Gleichungssystem (23) in ausführlicher Schreibweise die Form an ∂ ℌ z ∂ y − ∂ ℌ y ∂ z − ∂ ℌ x d t = u x . . . . . . . . . . . . . . . . ∂ E x ∂ x + ∂ E y ∂ y + ∂ E z ∂ z = ρ , welche Gleichungen bis auf die Wahl der Einheiten mit dem ersten M a x w e l lschen System übereinstimmen. Für die Bildung des zweiten Systems ist zunächst zu beachten, daß zu den Komponenten ℌ x , ℌ y , ℌ z , − E x , − E y , − E z von 2 − g ⋅ φ μ ν die Komponenten − E x , − E y , − E z , ℌ x , ℌ y , ℌ z der Ergänzung f μ ν gehören (7. Teil, § 3, Formeln 41a). Für den Fall des Fehlens des Gravitationsfeldes ergibt sich hieraus das zweite System, d. h. Gleichung (24) in der Form − ∂ E z ∂ x + ∂ E y ∂ z − 1 c 2 ∂ ℌ x ∂ t = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . − 1 c 2 ∂ ℌ x ∂ x − 1 c 2 ∂ ℌ y ∂ t − 1 c 2 ∂ ℌ z d z = 0 . Damit ist erwiesen, daß die aufgestellten Gleichungen wirklich eine Verallgemeinerung derjenigen der gewöhnlichen Relativitätstheorie bilden. 19 § 7. Kann das Gravitationsfeld auf einen Skalar zuruckgefuhrt werden? Bei der unleugbaren Kompliziertheit der hier vertretenen Theorie der Gravitation müssen wir uns ernstlich fragen, ob nicht die bisher ausschließlich vertretene Auffassung, nach welcher das Gravitationsfeld auf einen Skalar Φ zurückgeführt wird, die einzig naheliegende und berechtigte sei. Ich will kurz darlegen, warum wir diese Frage verneinen zu müssen glauben. Es bietet sich bei Charakterisierung des Gravitationsfeldes durch einen Skalar ein Weg dar, welcher dem im Vorhergehenden eingeschlagenen ganz analog ist. Man setzt als Bewegungsgleichung des materiellen Punktes in H a m i l t o nscher Form an δ { ∫ Φ d s } = 0 , wobei d s das vierdimensionale Linienelement der gewöhnlichen Relativitätstheorie und Φ ein Skalar ist, und geht dann ganz analog vor wie im Vorhergehenden, ohne die gewöhnliche Relativitätstheorie verlassen zu müssen. Auch hier ist der materielle Vorgang beliebiger Art durch einen SpannungsEnergie-Tensor T μ ν charakterisiert. Aber es ist bei dieser Auffassung ein S k a l a r maßgebend für die Wechselwirkung zwischen Gravitationsfeld und materiellem Vorgang. Dieser Skalar kann, worauf mich Herr L a u e aufmerksam machte, nur ∑ μ T μ μ = P sein, den ich als den ” L a u eschen Skalar“ bezeichnen will Dann kann man dem Satz von der Äquivalenz der trägen und der schweren Masse auch hier bis zu einem gewissen Grade gerecht werden. Herr L a u e wies mich nämlich darauf hin, daß für ein abgeschlossenes System ∫ P d V = ∫ T 44 d τ ist. Hieraus ersieht man, das für die Schwere eines abgeschlossenen Systems auch nach dieser Auffassung seine Gesamtenergie maßgebend ist. Die Schwere nicht abgeschlossener Systeme würde aber von den orthogonalen Spannungen T 11 usw. abhängen, denen das System unterworfen ist. Daraus entstehen Konsequenzen, die mir unannehmbar erscheinen, wie an dem Beispiel der Hohlraumstrahlung gezeigt werden soll. Für die Strahlung im Vakuum verschwindet bekanntlich der Skalar P . Ist die Strahlung in einem masselosen spiegelnden Kasten eingeschlossen, so erfahren deren Wände Zugspannungen, die bewirken, daß dem System, — als Ganzes genommen — eine schwere Masse ∫ P d τ zukommt, die der Energie E der Strahlung entspricht. 20 Statt nun aber die Strahlung in einen Hohlkasten einzuschließen, denke ich mir dieselbe begrenzt 1. durch die spiegelnden Wände eines festangeordneten Schachtes S , 2. durch zwei vertikal verschiebbare spiegelnde Wände W 1 und W 2 , welche durch einen Stab fest miteinander verbunden sind. In diesem Falle beträgt die schwere Masse ∫ P d τ des beweglichen Systems nur den dritten Teil des Wertes, der bei einem als Ganzes beweglichen Kasten auftritt. Man würde also zum Emporheben der Strahlung entgegen einem Schwerefelde nur den dritten Teil der Arbeit aufwenden müssen als in dem vorhin betrachteten Falle, daß die Strahlung in einem Kasten eingeschlossen ist. Dies erscheint mir unannehmbar. Ich muß freilich zugeben, daß für mich das wirksamste Argument dafür, daß eine derartige Theorie zu verwerfen sei, auf der Überzeugung beruht, daß die Relativität nicht nur orthogonalen linearen Substitutionen gegenüber besteht, sondern einer viel weiteren Substitutionsgruppe gegenüber. Aber wir sind schon deshalb nicht berechtigt, dieses Argument geltend zu machen, weil wir nicht imstande waren, die (allgemeinste) Substitutionsgruppe ausfindig zu machen, welche zu unseren Gravitationsgleichungen gehört. 21 II. Mathematischer Teil. Von MAʀCEʟ GʀOSSMAɴɴ. Die mathematischen Hilfsmittel für die Entwicklung der Vektoranalysis eines Gravitationsfeldes, das durch die Invarianz des Linienelementes d s 2 = ∑ μ ν g μ ν d x μ d x ν charakterisiert ist, gehen zurück auf die fundamentale Abhandlung von C h r i s t o f f e l haben, ausgehend von den C h r i s t o f f e lschen Resultaten, ihre Methoden der absoluten, d. h. vom Koordinatensystem unabhängigen Differentialrechnung entwickelt, die gestatten, den Differentialgleichungen der mathematischen Physik eine invariante Form zu geben. Da aber die Vektoranalysis des auf beliebige krummlinige Koordinaten bezogenen euklidischen Raumes formal identisch ist mit der Vektoranalysis einer beliebigen, durch ihr Linienelement gegebenen Mannigfaltigkeit, so bietet es keine Schwierigkeiten, die vektoranalytischen Begriffsbildungen, wie sie in den letzten Jahren von M i n k o w s k i, S o m m e r f e l d, L a u e u. a. für die Relativitätstheorie entwickelt worden sind, auszudehnen auf die vorstehende allgemeine Theorie von E i n s t e i n. Die a l l g e m e i n e V e k t o r a n a l y s i s, die man so erhält, erweist sich bei einiger Übung als ebenso einfach zu handhaben, wie die spezielle des dreioder vierdimensionalen euklidischen Raumes; ja die größere Allgemeinheit ihrer Begriffsbildungen verleiht ihr eine Übersichtlichkeit, die dem Spezialfall häufig genug abgeht. Die Theorie der speziellen Tensoren (§ 3) ist in einer während des Entstehens dieser Arbeit erschienenen Abhandlung von K o t t l e r vollständig behandelt worden und zwar, was im allgemeinen Falle nicht möglich ist, auf Grund der Theorie der Integralformen. Da sich an die Gravitationstheorie von E i n s t e i n, insbesondere aber an das Problem der Differentialgleichungen des Gravitationsfeldes, eingehendere mathematische Untersuchungen werden knüpfen müssen, mag eine systematische Darstellung der allgemeinen Vektoranalysis am Platze sein. Dabei habe ich mit Absicht geometrische Hilfsmittel beiseite gelassen, da sie meines Erachtens wenig zur Veranschaulichung der Begriffsbildungen der Vektoranalysis beitragen. 22 § 1. Allgemeine Tensoren. Es sei ( 1 ) d s 2 = ∑ μ ν g μ ν d x μ d x ν das Quadrat des Linienelementes, welches als invariantes Maß des Abstandes zweier unendlich-benachbarter Raum-Zeitpunkte betrachtet wird. Die folgenden Entwicklungen sind, so weit keine andere Bemerkung gemacht wird, von der Anzahl der Variabeln unabhängig; diese möge mit n bezeichnet sein. Bei einer Transformation ( 2 ) x i = x i ( x ′ 1 , x ′ 2 , . . . x ′ n ) ( i = 1 , 2 , . . . n ) der Variabeln, oder einer Transformation ( 3 ) { d x i = ∑ k ∂ x i ∂ x ′ k d x ′ k = ∑ k p i k d x ′ k d x ′ i = ∑ k ∂ x ′ i ∂ x k d x k = ∑ k π i k d x k } . ihrer Differentiale, transformieren sich die Koeffizienten des Linienelementes gemäß der Formeln ( 4 ) g ′ r s = ∑ μ ν p μ r p ν s g μ ν . Es sei g die D i s k r i m i n a n t e der Differentialform (1) , d. h. die Determinante g = | g μ ν | . Ist γ μ ν die durch die Diskriminante dividierte ( ” normierte“), dem Element g μ ν adjungierte Unterdeterminante von g , so transformieren sich diese Größen nach den Formeln ( 5 ) γ ′ r s = ∑ μ ν π μ r π ν s γ μ ν . Wir definieren nun: I. Der Inbegriff eines Systems von Funktionen T i 1 i 2 ⋯ i λ der Variabeln x heiße ein kovarianter Tensor vom Range λ , wenn diese Großen sich transformieren gemaß den Formeln ( 6 ) T ′ r 1 r 2 ⋯ r λ = ∑ i 1 i 2 ⋯ i λ p i 1 r 1 p i 2 r 2 . . . p i λ r λ ⋅ T i 1 i 2 ⋯ i λ . 23 II. Der Inbegriff eines Systems von Funktionen Θ i 1 i 2 ⋯ i λ der Variabeln x heiße ein kontravarianter Tensor vom Range λ , wenn diese Großen sich transformieren gemaß den Formeln ( 7 ) Θ ′ r 1 r 2 ⋯ r λ = ∑ i 1 i 2 ⋯ i λ π i 1 r 1 π i 2 r 2 . . . π i λ r λ ⋅ Θ i 1 i 2 ⋯ i λ . III. Der Inbegriff eines Systems von Funktionen T i 1 i 2 ⋯ i μ / k 1 k 2 ⋯ k ν der Variabeln x heiße ein gemischter Tensor, kovariant vom Range μ , kontravariant vom Range ν , wenn diese Großen sich transformieren nach den Formeln ( 8 ) T ′ r 1 r 2 ⋯ r μ / s 1 s 2 ⋯ s ν = ∑ i 1 i 2 ⋯ i μ k 1 k 2 ⋯ k ν p i 1 r 1 p i 2 r 2 . . . p i μ r μ ⋅ π k 1 s 1 π k 2 s 2 . . . π k ν s ν ⋅ T i 1 i 2 ⋯ i μ / k 1 k 2 ⋯ k ν . Aus diesen Definitionen und den Gleichungen (4) und (5) folgt: Die Größen g μ ν bilden einen kovarianten, die Größen γ μ ν einen kontravarianten Tensor zweiten Ranges, die F u n d a m e n t a l t e n s o r e n d e s G r a v i t a t i o n s f e l d e s im Falle n = 4 . Die Größen d x i bilden nach Gleichung (3) einen kontravarianten Tensor ersten Ranges. Tensoren ersten Ranges nennt man auch V e k t o r e n e r s t e r A r t o d e r V i e r e r v e k t o r e n bei n = 4 . Unmittelbar aus der Definition der Tensoren ergeben sich die folgenden a l g e b r a i s c h e n T e n s o r o p e r a t i o n e n : 1. Die S u m m e z w e i e r g l e i c h a r t i g e r T e n s o r e n vom Range λ ist wieder ein gleichartiger Tensor vom Range λ , dessen Komponenten durch Addition der entsprechenden Komponenten beider Tensoren entstehen. 2. Das ä u ß e r e P r o d u k t z w e i e r k o v a r i a n t e r (k o n t r a v a r i a n t e r) T e n s o r e n vom Range λ bzw. μ ist ein kovarianter (kontravarianter) Tensor vom Range λ + μ mit den Komponenten ( 9 ) T i 1 i 2 ⋯ i λ k 1 k 2 ⋯ k μ = A i 1 i 2 ⋯ i λ ⋅ B k 1 k 2 ⋯ k μ , bzw. ( 9 ’ ) Θ i 1 i 2 ⋯ i λ k 1 k 2 ⋯ k μ = Φ i 1 i 2 ⋯ i λ ⋅ Ψ k 1 k 2 ⋯ k μ . 3. Als i n n e r e s P r o d u k t z w e i e r T e n s o r e n bezeichnen wir a) den kovarianten Tensor ( 10 ) T i 1 i 2 ⋯ i λ = ∑ k 1 k 2 ⋯ k μ Φ k 1 k 2 ⋯ k μ ⋅ A i 1 i 2 ⋯ i λ k 1 k 2 ⋯ k μ , b) den kontravarianten Tensor ( 11 ) Θ i 1 i 2 ⋯ i λ = ∑ k 1 k 2 ⋯ k μ A k 1 k 2 ⋯ k μ ⋅ Φ i 1 i 2 ⋯ i λ k 1 k 2 ⋯ k μ , 24 c) den gemischten Tensor ( 12 ) T r 1 r 2 ⋯ r μ / s 1 s 2 ⋯ s ν = ∑ k 1 k 2 ⋯ k μ A k 1 k 2 ⋯ k λ r 1 r 2 ⋯ r μ ⋅ Φ k 1 k 2 ⋯ k λ s 1 s 2 ⋯ s ν , oder ganz allgemein, die drei Fälle a) bis c) mit enthaltend ( d ) T r 1 r 2 ⋯ r μ u 1 u 2 ⋯ u α / s 1 s 2 ⋯ s ν v 1 v 2 ⋯ v β = ∑ k 1 k 2 ⋯ k λ A r 1 r 2 ⋯ r μ / k 1 k 2 ⋯ k λ v 1 v 2 ⋯ v β ⋅ B k 1 k 2 ⋯ k λ u 1 u 2 ⋯ u α / s 1 s 2 ⋯ s ν . Die der gewöhnlichen Vektoranalysis entnommenen Bezeichnungen ” äußeres und inneres Produkt“ rechtfertigen sich, weil jene Operationen sich letzten Endes als besondere Fälle der hier betrachteten ergeben. Ist in den Fällen a) oder b) der Rang λ gleich Null, so ist das innere Produkt ein Skalar. 4. R e z i p r o z i t ä t e i n e s k o v a r i a n t e n u n d e i n e s k o n t r a v a r i a n t e n T e n s o r s. Aus einem kovarianten Tensor vom Range λ bildet man den reziproken kontravarianten Tensor vom Range λ durch λ -fache innere Multiplikation mit dem kontravarianten Fundamentaltensor: ( 13 ) Θ i 1 i 2 ⋯ i λ = ∑ k 1 k 2 ⋯ k λ γ i 1 k 1 γ i 2 k 2 ⋯ γ i λ k λ ⋅ T k 1 k 2 ⋯ k λ , woraus durch Auflösung ( 14 ) T i 1 i 2 ⋯ i λ = ∑ k 1 k 2 ⋯ k λ g i 1 k 1 g i 2 k 2 ⋯ g i λ k λ ⋅ Θ k 1 k 2 ⋯ k λ . Man findet daher aus einem Tensor einen Skalar, in dem man ihn mit seinem reziproken Tensor multipliziert nach der Formel ( 15 ) ∑ i 1 i 2 ⋯ i λ T i 1 i 2 ⋯ i λ ⋅ Θ i 1 i 2 ⋯ i λ . Ein kovarianter (kontravarianter) Tensor ersten Ranges (Vierervektor bei n = 4 ) hat die Invariante ∑ i k γ i k T i T k beziehungsweise ∑ i k g i k Θ i Θ k . In der gewöhnlichen Relativitätstheorie ist die Kontravarianz identisch der Kovarianz und obige Invariante wird zum Quadrat des Betrages des Vierervektors 25 T x 2 + T y 2 + T z 2 + T l 2 . Ein kovarianter (kontravarianter) Tensor zweiten Ranges hat die Invariante ∑ i k γ i k T i k beziehungsweise ∑ i k g i k Θ i k , die im Falle der bisherigen Relativitätstheorie zu T x x + T y y + T z z + T l l wird. § 2. Differentialoperationen an Tensoren. Wir führen folgende allgemeine Definitionen ein: I. Als Erweiterung eines kovarianten (kontravarianten) Tensors vom Range λ bezeichnen wir den kovarianten (kontravarianten) Tensor vom Range λ + 1 , der durch ” kovariante (kontravariante) Differentiation“ aus jenem hervorgeht. Nach C h r i s t o f f e l (l. c.) ist ( 16 ) T r 1 r 2 ⋯ r λ s = ∂ T r 1 r 2 ⋯ r λ ∂ x s − − ∑ k ( { r 1 s k } T k r 2 ⋯ r λ + { r 2 s k } T r 1 k ⋯ r λ + ⋯ + { r λ s k } T r 1 r 2 ⋯ k ) ein kovarianter Tensor vom Range λ + 1 , der aus dem kovarianten Tensor vom Range λ hervorgeht. R i c c i und L e v i C i v i t à nennen die Differentialoperation der rechten Seite dieser Gleichung die ” kovariante Differentiation“ des Tensors T r 1 r 2 ⋯ r λ . Hierbei bedeutet ( 17 ) { r s u } = ∑ t γ u t [ r s t ] , ( 18 ) [ r s t ] = 1 2 ( ∂ g r t ∂ x s + ∂ g s t ∂ x r − ∂ g r s ∂ x t ) . 26 [ r s t ] und { r s u } sind die C h r i s t o f f e lschen Drei-Indizes-Symbole erster bzw. zweiter Art; durch Auflösung der Gleichungen (17) findet man ( 19 ) [ r s u ] = ∑ t g u t { r s t } , Führt man in die Gleichung (16) an Stelle der kovarianten Tensoren die zu ihnen reziproken kontravarianten Tensoren ein, so erhält man als ” kontravariante Erweiterung“ ( 20 ) Θ r 1 r 2 ⋯ r λ s = ∑ i k γ s i ( ∂ Θ r 1 r 2 ⋯ r λ ∂ x i + { i k r 1 } Θ k r 2 ⋯ r λ + { i k r 2 } Θ r 1 k ⋯ r λ + ⋯ + { i k r λ } Θ r 1 r 2 ⋯ k ) . II. Als Divergenz eines kovarianten (kontravarianten) Tensors vom Range λ bezeichnen wir den kovarianten (kontravarianten) Tensor vom Range λ − 1 , der durch innere Multiplikation der Erweiterung mit dem kontravarianten (kovarianten) Fundamentaltensor entsteht. Somit ist die Divergenz des kovarianten Tensors T r 1 r 2 ⋯ r λ der Tensor ( 21 ) T r 2 r 3 ⋯ r λ = ∑ s r 1 γ s r 1 T r 1 ⋯ r λ s , und die Divergenz des kontravarianten Tensors Θ r 1 r 2 ⋯ r λ ist der Tensor ( 22 ) Θ r 2 r 3 ⋯ r λ = ∑ s r 1 g s r 1 Θ r 1 ⋯ r λ s , Die Divergenz eines Tensors geht nicht eindeutig aus diesem hervor; das Resultat ändert sich im allgemeinen, wenn man in den Gleichungen (21) und (22) r 1 durch einen der Indizes r 2 , r 3 . . . r λ ersetzt. III. Als verallgemeinerte Laplacesche Operation an einem Tensor bezeichnen wir die Aufeinanderfolge der Erweiterung und der Divergenz. Die verallgemeinerte Laplacesche Operation laßt daher aus einem Tensor einen gleichartigen gleichen Ranges hervorgehen. Von besonderem Interesse sind die Fälle λ = 0 , 1 , 2 . a) λ = 0 . Der Ausgangstensor ist ein S k a l a r T , den wir als kooder kontravarianten Tensor vom Range 0 betrachten können. ( 23 ) T r = ∂ T ∂ x r ist die kovariante Erweiterung des Skalars T , d. i. ein kovarianter Tensor ersten Ranges (kovarianter Vierervektor für n = 4 ), den man den G r a d i e n t e n des Skalars nennt. Die Invariante ( 24 ) ∑ r s γ r s ∂ T ∂ x r ∂ T ∂ x s ist der erste B e l t r a m ische Differentialparameter des Skalars T . 27 Um die D i v e r g e n z d e s G r a d i e n t e n zu bilden, hat man aus seiner Erweiterung T r s = ∂ 2 T ∂ x r ∂ x s − ∑ k { r s k } ∂ T ∂ x k den Skalar ∑ r s γ r s T r s zu bilden, dem man die Form ( 25 ) 1 2 g ∑ r s ∂ ∂ x s ( 2 g γ r s ∂ T ∂ x r ) geben kann. Die Divergenz des Gradienten ist das Resultat der verallgemeinerten L a p l a c eschen Operation ausgeführt am Skalar T und ist identisch mit dem zweiten B e l t r a m ischen Differentialparameter des Skalars T . b) λ = 1 . Der Ausgangstensor sei ein kovarianter Vierervektor, könnte aber ebensogut ein kontravarianter Vierervektor sein. Die kovariante Erweiterung ist nach (16) ( 26 ) T r s ∂ T r ∂ x s − ∑ k { r s k } T k . Die Divergenz ist ( 27 ) ∑ r s γ r s T r s = ∑ r s k γ r s ( ∂ T r ∂ x s − { r s k } T k ) , der wir nach (17) die Form geben: ( 28 ) ∑ r s γ r s T r s = ∑ r s k l ( ∂ ∂ x s ( γ r s T r ) − ∂ γ r s ∂ x s ⋅ T r − 1 2 γ r s γ k l ( ∂ g r l ∂ x s + ∂ g s l ∂ x r − ∂ g r s ∂ x l ) T k ) . Eliminiert man ∂ γ r s ∂ x s vermöge der Formel ( 29 ) ∂ γ r s ∂ x t = − ∑ ρ σ γ r ρ γ s σ ∂ g ρ σ ∂ x t , so heben sich in Gleichung (28) die drei mittleren Glieder unter dem Summenzeichen auf und es bleibt neben dem ersten Gliede 28 ∑ r s k l 1 2 γ r s ∂ g r s ∂ x l ⋅ γ k l T k = ∑ k l γ k l T k ∂ log 2 g ∂ x l , so daß man für die D i v e r g e n z d e s k o v a r i a n t e n V i e r e r v e k t o r s findet ( 30 ) ∑ r s γ r s T r s = 1 2 g ∑ r s ∂ ∂ x s ( 2 g γ r s T r ) . c) λ = 2 . Der Ausgangstensor sei ein kontravarianter Tensor zweiten Ranges Θ r s , dessen Erweiterung nach Formel (20) lautet ( 31 ) Θ r s t = ∑ i k γ t i ( ∂ Θ r s ∂ x i + { i k r } Θ k s + { i k s } Θ r k ) . Hieraus ergibt sich als Divergenz des kontravarianten Tensors Θ r s entweder die Z e i l e n d i v e r g e n z ( 32 ) Θ r = ∑ s t g s t Θ r s t = ∑ s k ( ∂ Θ r s ∂ x s + { s k r } Θ k s + { s k s } Θ r k ) , oder die Kolonnendivergenz ( 33 ) Θ s = ∑ r t g r t Θ r s t = ∑ r k ( ∂ Θ r s ∂ x r + { r k r } Θ k s + { r k s } Θ r k ) , zwei Differentialoperationen, die für symmetrische Tensoren zusammenfallen. Weil ( 34 ) ∑ r { r k r } = ∑ r s γ r s [ r k s ] = ∑ r s 1 2 γ r s ∂ g r s ∂ x k = ∂ log 2 g ∂ x k ist, so läßt sich die Formel (33) auch zusammenfassen in ( 35 ) Θ s = 1 2 g ∑ r ∂ ∂ x r ( 2 g ⋅ Θ r s ) + ∑ r k { r k s } Θ r k . § 3. Spezielle Tensoren (Vektoren). Ein kovarianter (kontravarianter) Tensor heiße s p e z i e l l, wenn seine Komponenten ein System von a l t e r n i e r e n d e n F u n k t i o n e n der Grundvariabeln bilden. Die Komponenten eines speziellen Tensors sind demnach den folgenden Bedingungen unterworfen: 1. Es ist T r 1 r 2 ⋯ r λ , wenn zwei der Indizes r 1 , r 2 , . . . r λ einander gleich sind. 29 2. Unterscheiden sich r 1 , r 2 , . . . r λ und s 1 , s 2 , . . . s λ nur durch die Reihenfolge der Indizes, so ist T r 1 r 2 ⋯ r λ =  T s 1 s 2 ⋯ s λ , je nachdem r 1 , r 2 , . . . r λ und s 1 , s 2 , . . . s λ Permutationen derselben Klasse sind oder nicht. Zwei Permutationen gehören bekanntlich zu der gleichen Klasse, wenn beide durch eine gerade bezw. ungerade Anzahl von bloßen Vertauschungen zweier Indizes aus der Grundpermutation 1 , 2 , . . . n hervorgehen. Die Anzahl der linear unabhängigen Komponenten eines speziellen Tensors vom Range λ ist demnach ( n λ ) . Die Theorie der speziellen Tensoren gestaltet sich vermöge dieser Eigenschaften einfacher, aber auch reichhaltiger als die der allgemeinen Tensoren; sie ist von besonderer Bedeutung für die mathematische Physik, weil die Theorie der V e k t o r e n λ ^ A r t (Vierer-, Sechservektoren bei n = 4 ) sich zurückführen läßt auf die s p e z i e l l e n T e n s o r e n v o m R a n g e λ . Vom Standpunkte der allgemeinen Theorie aus ist es zweckmäßiger von den Tensoren auszugehen und die Vektoren lediglich als spezielle Tensoren zu behandeln. Wichtig für die Vektoranalysis der n -dimensionalen Mannigfaltigkeit d s 2 = ∑ μ ν g μ ν d x μ d x ν ist ein spezieller Tensor n t e n Ranges, der mit der Diskriminante g des Linienelements verknüpft ist. Diese Diskrimante transformiert sich ja gemäß der Gleichung ( 36 ) g ′ = p 2 ⋅ g , wo p = | p i k | = | ∂ x i ∂ x ′ k | die Funktionaldeterminante der Substitution ist. Gibt man für 2 g das ursprüngliche Bezugssystem ein bestimmtes Vorzeichen, und setzt man fest, daß sich dieses Vorzeichen bei einer Transformation ändern soll oder nicht, je nachdem die Substitutionsdeterminante p negativ oder positiv ist, so hat die Gleichung ( 37 ) 2 g ′ = p ⋅ 2 g exakte Bedeutung mit Einschluß der Vorzeichen. Es sei nun δ r 1 r 2 ⋯ r n gleich Null, wenn zwei der Indizes einander gleich sind, dagegen  1 , wenn dies nicht der Fall ist und die Permutation r 1 r 2 ⋯ r n durch eine gerade bezw. ungerade Anzahl von Vertauschungen zweier Indizes aus der Grundpermutation 1 , 2 , . . . n hervorgeht. Dann sind 30 ( 38 ) e r 1 r 2 ⋯ r n = δ r 1 r 2 ⋯ r n ⋅ 2 g die Komponenten eines speziellen kovarianten Tensors n ten Ranges, den wir den k o v a r i a n t e n D i s k r i m i n a n t e n t e n s o r nennen wollen. Denn eine Transformation liefert zunächst e ′ r 1 r 2 ⋯ r n = δ r 1 r 2 ⋯ r n ⋅ 2 g ′ = δ r 1 r 2 ⋯ r n ⋅ p 2 g ; da aber p = ∑ i 1 i 2 . . . i n δ i 1 i 2 . . . i n ⋅ p i 1 1 p i 2 2 ⋯ p i n n = δ r 1 r 2 . . . r n ⋅ ∑ i 1 i 2 . . . i n δ i 1 i 2 . . . i n ⋅ p i 1 r 1 p i 2 r 2 ⋯ p i n r n ist, so folgt e ′ r 1 r 2 ⋯ r n = 2 g ⋅ ∑ i 1 i 2 . . . i n δ i 1 i 2 . . . i n ⋅ p i 1 r 1 p i 2 r 2 ⋯ p i n r n , also wegen der Definition (38) e ′ r 1 r 2 ⋯ r n = ∑ i 1 i 2 . . . i n e i 1 i 2 . . . i n ⋅ p i 1 r 1 p i 2 r 2 ⋯ p i n r n . Für den reziproken k o n t r a v a r i a n t e n Tensor findet man nach (13) ɛ i 1 i 2 ⋯ i n = ∑ r 1 r 2 ⋯ r n γ i 1 r 1 γ i 2 r 2 ⋯ γ i n r n ⋅ e r 1 r 2 ⋯ r n , ɛ i 1 i 2 ⋯ i n = 2 g ⋅ ∑ r 1 r 2 ⋯ r n δ r 1 r 2 ⋯ r n ⋅ γ i 1 r 1 γ i 2 r 2 ⋯ γ i n r n , ɛ i 1 i 2 ⋯ i n = δ i 1 i 2 ⋯ i n ⋅ 2 g ⋅ ∑ r 1 r 2 ⋯ r n δ r 1 r 2 ⋯ r n ⋅ γ 1 r 1 γ 2 r 2 ⋯ γ n r n . Da aber die Determinante der normierten Unterdeterminanten γ i k | γ i k | = 1 g ist, so folgt 31 ( 39 ) ɛ i 1 i 2 ⋯ i n = δ i 1 i 2 ⋯ i n 2 g . Die Bedeutung des kovarianten (kontravarianten) Diskriminantentensors liegt darin, daß seine innere Multiplikation mit einem kontravarianten (kovarianten) Tensor vom Range λ einen gleichartigen Tensor vom Range λ − n liefert, wobei der Tensor von entgegengesetzter Art wird, wenn λ − n negativ ist. (E r g ä n z u n g des Tensors.) Wenn n = 4 ist, so gibt es spezielle Tensoren bis zum vierten Rang, da alle speziellen Tensoren höheren Ranges identisch verschwinden. Die nichtverschwindenden Komponenten eines speziellen kovarianten Tensors vierten Ranges sind alle einander gleich oder entgegengesetzt gleich. Die Ergänzung (innere Multiplikation mit dem kontravarianten Diskriminantentensor) ergibt einen Skalar, so daß die Differentialoperationen, die an einem speziellen Tensor vierten Ranges ausgeführt werden können, damit zurückgeführt sind auf die Differentialoperationen an einen Skalar. Die Ergänzung eines speziellen kovarianten Tensors dritten Ranges ist ein kontravarianter Vektor erster Art. Die Ergänzung eines speziellen kovarianten Tensors zweiten Ranges ist ein kontravarianter, spezieller Tensor zweiten Ranges. Endlich führt die Ergänzung eines speziellen kovarianten Vektors erster Art auf einen kontravarianten Tensor dritten Ranges. Die Untersuchung des Einflusses des Gravitationsfeldes auf die physikalischen Vorgänge (. Teil, § 6) erfordert die eingehendere Behandlung der speziellen Tensoren zweiten Ranges (Sechservektoren). Ist Θ μ ν ein spezieller Tensor zweiten Ranges, so reduziert sich seine Divergenz (Formel 35) Θ μ = ∑ ν 1 2 g ∂ ∂ x ν ( 2 g ⋅ Θ μ ν ) + ∑ ν ϰ { ν ϰ μ } Θ ν ϰ wegen Θ ν ϰ = − Θ ϰ ν , Θ ν ν = 0 auf ( 40 ) Θ μ = ∑ ν 1 2 g ∂ ∂ x ν ( 2 g ⋅ Θ μ ν ) . Wir leiten ferner aus einem kontravarianten Tensor zweiten Ranges Θ μ ν folgendermaßen den d u a l e n kontravarianten Tensor zweiten Ranges Θ r s ∗ ab. Wir bilden zuerst die Ergänzung 32 ( 41 ) T i k = 1 2 ∑ μ ν e i k μ ν ⋅ Θ μ ν , oder also ( 41 a ) { T 12 = 2 g ⋅ Θ 34 , T 13 = 2 g ⋅ Θ 42 , T 14 = 2 g ⋅ Θ 23 T 23 = 2 g ⋅ Θ 14 , T 24 = 2 g ⋅ Θ 31 , T 34 = 2 g ⋅ Θ 12 . } . Der gesuchte duale Tensor ist nun reziprok zu dieser Ergänzung, lautet daher ( 42 ) Θ r s ∗ = ∑ i k γ i r γ k s ⋅ T i k = 1 2 ∑ i k μ ν γ i r γ k s e i k μ ν ⋅ Θ μ ν . Die Reihenfolge der beiden Operationen — Ergänzung und Bildung des reziproken Tensors — ist wegen der Reziprozität der beiden Diskriminantentensoren vertauschbar. — § 4. Mathematische Erganzungen zum physikalischen Teil. 1. B e w e i s d e r K o v a r i a n z d e r I m p u l s E n e r g i e g l e i c h u n g e n. Es ist zu beweisen, daß sich die Gleichungen (10) des . Teiles, S. 9, die vom Faktor 2 − 1 abgesehen lauten ∑ μ ν ∂ ∂ x ν ( 2 g ⋅ g σ μ ⋅ Θ μ ν ) − 1 2 2 g ∑ μ ν ⋅ ∂ g μ ν ∂ x σ ⋅ Θ μ ν = 0 , ( σ = 1 , 2 , 3 , 4 ) beliebigen Transformationen gegenüber kovariant verhalten. Nach Formel (35) ist die Divergenz des kontravarianten Tensors Θ μ ν Θ μ = ∑ ν 1 2 g ∂ ∂ x ν ( 2 g ⋅ Θ μ ν ) + ∑ ν k { ν k μ } Θ ν k . Der zu diesem kontravarianten Vektor Θ μ reziproke kovariante Vektor T σ ist also T σ = ∑ μ g σ μ Θ μ = ∑ μ ν k ( 1 2 g ∂ ∂ x ν ( 2 g ⋅ g σ μ ⋅ Θ μ ν ) − ∂ g σ μ ∂ x ν ⋅ Θ μ ν + g σ μ { ν k μ } ⋅ Θ ν k ) . Das letzte Glied dieser Summe ist aber gleich 33 ∑ ν k [ ν k σ ] Θ ν k = ∑ μ ν ( ∂ g μ σ ∂ x ν + ∂ g ν σ ∂ x μ − ∂ g μ ν ∂ x σ ) ⋅ Θ μ ν . Also bleibt T σ = ∑ μ ν 1 2 g ∂ ∂ x ν ( 2 g ⋅ g σ μ Θ μ ν ) − 1 2 ∑ μ ν ∂ g μ ν ∂ x σ ⋅ Θ μ ν , d. h. bis auf den Faktor 1 2 g die linke Seite der untersuchten Gleichung. Dividiert man also jene Gleichung durch 2 g , so stellt ihre linke Seite die σ -Komponente eines kovarianten Vektors dar, ist also in der Tat kovariant. Man kann daher den Inhalt jener vier Gleichungen auch so aussprechen: D i e D i v e r g e n z d e s ( k o n t r a v a r i a n t e n ) S p a n n u n g s E n e r g i e t e n s o r s d e r m a t e r i e l l e n S t r ö m u n g b z w . d e s p h y s i k a l i s c h e n V o r g a n g e s v e r s c h w i n d e t. 2. D i f f e r e n t i a l t e n s o r e n e i n e r d u r c h i h r L i n i e n e l e m e n t g e g e b e n e n M a n n i g f a l t i g k e i t. Das Problem der Aufstellung der Differentialgleichungen eines Gravitationsfeldes (. Teil, § 5) lenkt die Aufmerksamkeit auf die D i f f e r e n t i a l i n v a r i a n t e n und D i f f e r e n t i a l k o v a r i a n t e n der quadratischen Differentialform d s 2 = ∑ μ ν g μ ν d x μ d x ν . Die Theorie dieser Differentialkovarianten führt im Sinne unserer allgemeinen Vektoranalysis auf die D i f f e r e n t i a l t e n s o r e n, die mit einem Gravitationsfeld gegeben sind. Das vollständige System dieser Differentialtensoren (beliebigen Transformationen gegenüber) geht zurück auf eine von R i e m a n n und unabhängig von diesem von C h r i s t o f f e l gefundenen kovarianten Differentialtensor vierten Ranges, den wir den R i e m a n n s c h e n D i f f e r e n t i a l t e n s o r nennen wollen und der folgendermaßen lautet ( 43 ) R i k l m = ( i k , l m ) = 1 2 ( ∂ 2 g i m ∂ x k ∂ x l + ∂ 2 g k l ∂ x i ∂ x m − ∂ 2 g i l ∂ x k ∂ x m − ∂ 2 g m k ∂ x l ∂ x i ) + ∑ ρ σ γ ρ σ ( [ i m ρ ] [ k l σ ] − [ i l ρ ] [ k m σ ] ) . Durch kovariante algebraische und differentielle Operationen erhält man aus dem Riemannschen Differentialtensor und dem Diskriminantentensor (§ 3, Formel 38) das vollständige System der Differentialtensoren (also auch der Differentialinvarianten) der Mannigfaltigkeit. ( i k , l m ) heißen auch die C h r i s t o f f e l s c h e n V i e r I n d i z e s S y m b o l e e r s t e r A r t. Von Bedeutung sind neben diesen die V i e r I n d i z e s S y m b o l e z w e i t e r A r t 34 ( 44 ) { i k , l m } = ∂ { i l k } ∂ x m − ∂ { i m k } ∂ x l + ∑ ρ ( { i l ρ } { ρ m k } − { i m ρ } { ρ l k } ) , die mit jenen in der Beziehung stehen ( 45 ) { { i ρ , l m } = ∑ k γ ρ k ( i k , l m ) , oder aufgelost ( i k , l m ) = ∑ ρ g k ρ { i ρ , l m } . } . Den Vier-Indizes-Symbolen zweiter Art kommt in der allgemeinen Vektoranalysis die Bedeutung der Komponenten eines g e m i s c h t e n T e n s o r s, kovariant vom dritten, kontravariant vom ersten Range zu. Die hervorragende Bedeutung dieser Begriffsbildungen für die D i f f e r e n t i a l g e o m e t r i e einer durch ihr Linienelement gegebenen Mannigfaltigkeit macht es a priori wahrscheinlich, daß diese allgemeinen Differentialtensoren auch für das Problem der Differentialgleichungen eines Gravitationsfeldes von Bedeutung sein dürften. Es gelingt in der Tat zunächst, einen kovarianten Differentialtensor zweiten Ranges und zweiter Ordnung G i m anzugeben, der in jene Gleichungen eintreten könnte, nämlich ( 46 ) G i m = ∑ k l γ k l ( i k , l m ) = ∑ k { i k , k m } . Allein es zeigt sich, daß sich dieser Tensor im Spezialfall des unendlich schwachen statischen Schwerefeldes n i c h t auf den Ausdruck Δ φ reduziert. Wir müssen daher die Frage offen lassen, inwiefern die allgemeine Theorie der mit einem Gravitationsfeld verknüpften Differentialtensoren mit dem Problem der Gravitationsgleichungen zusammenhängt. Ein solcher Zusammenhang müßte vorhanden sein, sofern die Gravitationsgleichungen b e l i e b i g e Substitutionen zuzulassen hätten; allein in diesem Falle scheint es ausgeschlossen zu sein, Differentialgleichungen z w e i t e r Ordnung aufzufinden. Würde dagegen feststehen, daß die Gravitationsgleichungen nur eine gewisse Gruppe von Transformationen gestatten, so wäre es verständlich, wenn man mit den von der allgemeinen Theorie gelieferten Differentialtensoren nicht auskommt. Wie im physikalischen Teile ausgeführt ist, sind wir nicht imstande, zu diesen Fragen Stellung zu nehmen. — 3. Z u r A b l e i t u n g d e r G r a v i t a t i o n s g l e i c h u n g e n. Die von E i n s t e i n beschriebene Herleitung der Gravitationsgleichungen (. Teil, § 5), wird im Einzelnen folgendermaßen durchgeführt. Wir gehen aus von dem in der Energiebilanz mit Gewißheit zu erwartenden Gliede ( 47 ) U = ∑ α β μ ν ∂ g μ ν ∂ x σ ∂ ∂ x α ( 2 g γ α β ∂ γ μ ν ∂ x β ) und formen durch partielle Integration um. Es wird so 35 U = ∑ α β μ ν ∂ ∂ x α ( 2 g γ α β ∂ γ μ ν ∂ x β ∂ g μ ν ∂ x σ ) − ∑ α β μ ν 2 g γ α β ∂ γ μ ν ∂ x β ⋅ ∂ 2 g μ ν ∂ x σ ∂ x α . Die erste der auf der rechten Seite stehenden Summen hat die gewünschte Form einer Summe von Differentialquotienten und sei bezeichnet mit A , so daß A = ∑ α β μ ν ∂ ∂ x α ( 2 g γ α β ∂ γ μ ν ∂ x β ∂ g μ ν ∂ x σ ) . In der zweiten der rechtsstehenden Summen führen wir wieder partielle Integration aus. Dann lautet die Identität U = A − ∑ α β μ ν ∂ ∂ x σ ( 2 g ⋅ γ α β ∂ γ μ ν ∂ x β ∂ g μ ν ∂ x α ) + ∑ α β μ ν ∂ g μ ν ∂ x α ∂ ∂ x σ ( 2 g ⋅ γ α β ∂ γ μ ν ∂ x β ) . Die erste der rechts entstandenen Summen kann als eine Summe von Differentialen geschrieben werden und möge mit ( 48 ) B = ∑ α β μ ν ∂ ∂ x σ ( 2 g γ α β ∂ γ μ ν ∂ x β ∂ g μ ν ∂ x α ) bezeichnet sein. In der zweiten Summe differentiieren wir aus. Dann wird U = A − B + ∑ α β μ ν ∂ g μ ν ∂ x α ( γ α β ∂ γ μ ν ∂ x β ∂ 2 g ∂ x σ + 2 g ∂ γ μ ν ∂ x β ∂ γ α β ∂ x σ + 2 g ⋅ γ α β ∂ 2 γ μ ν ∂ x β ∂ x σ ) , oder wenn man im zweiten Summanden die Formel (29) des § 2anwendet und im dritten Summanden partiell integriert U = A − B + ∑ α β μ ν i k γ α β ∂ g μ ν ∂ x α ∂ γ μ ν ∂ x β ⋅ 2 g 2 γ i k ∂ g i k ∂ x σ + ∑ α β μ ν i k 2 g ⋅ ∂ g μ ν ∂ x α ∂ γ μ ν ∂ x β ⋅ γ α i γ β k ∂ g i k ∂ x σ + ∑ α β μ ν ∂ ∂ x β ( 2 g γ α β ∂ g μ ν ∂ x α ⋅ ∂ γ μ ν ∂ x σ ) − ∑ α β μ ν ∂ γ μ ν ∂ x σ ∂ ∂ x β ( 2 g γ α β ∂ g μ ν ∂ x α ) . Die beiden ersten Summen haben die Form von Gliedern, wie wir sie auf die linke Seite unserer Identität setzen. Wir bezeichnen sie mit ( 49 ) V = 1 2 ∑ α β μ ν i k ∂ g i k ∂ x σ ⋅ 2 g ⋅ γ α β γ i k ∂ g μ ν ∂ x α ⋅ ∂ γ μ ν ∂ x β ( 50 ) W = 1 2 ∑ α β μ ν i k ∂ g i k ∂ x σ ⋅ 2 g ⋅ γ α i γ β k ∂ g μ ν ∂ x α ⋅ ∂ γ μ ν ∂ x β . 36 Die dritte der rechts stehenden Summen hat die Form einer Summe von Differentialquotienten; eliminiert man in ihr ∂ γ μ ν ∂ x σ vermöge jener Formel (29) , so erweist sie sich als die schon eingeführte Größe A . In der letzten Summe endlich ersetzen wir nach der gleichen Formel ∂ γ μ ν ∂ x σ . Wir finden so U − V + W = 2 A − B + ∑ α β μ ν i k γ μ i γ ν k ∂ g i k ∂ x σ ∂ ∂ x β ( 2 g γ α β ∂ g μ ν ∂ x α ) , oder U − V + W = 2 A − B + ∑ α β μ ν i k ∂ g i k ∂ x σ ⋅ ∂ ∂ x β ( 2 g ⋅ γ α β γ μ i γ ν k ∂ g μ ν ∂ x α ) − ∑ α β μ ν i k ∂ g i k ∂ x σ ∂ g μ ν ∂ x α 2 g γ α β ∂ ∂ x β ( γ μ i γ ν k ) . Die erste dieser Summen wird wegen (29) , d. h. wegen ∑ μ ν γ i μ γ ν k ∂ g μ ν ∂ x α = − ∂ γ i k ∂ x α zu − ∑ α β i k ∂ g i k ∂ x σ ∂ ∂ x β ( 2 g γ α β ∂ γ i k ∂ x α ) = − U . Die zweite können wir, wegen der Vertauschbarkeit von i und k , μ und ν , schreiben als 2 X = 2 ⋅ ∑ α β μ ν i k ∂ g i k ∂ x σ ⋅ 2 g γ α β γ μ i ∂ g μ ν ∂ x α ∂ γ ν k ∂ x β = − 2 ⋅ ∑ α β μ ν i k ∂ g i k ∂ x σ ⋅ 2 g γ α β g μ ν ∂ γ i μ ∂ x α ∂ γ k ν ∂ x β . Die gesuchte Identität lautet also 2 U − V + W + 2 X = 2 A − B ist also identisch der im . Teil, § 5gegebenen. 37