Wertesystem der Variablen x₁....x₄; d. h. die Koinzidenz
ist durch die Übereinstimmung der Koordinaten charak-
terisiert. Führt man statt der Variablen x₁....x₄ beliebige
Funktionen derselben, x₁^', x₂^', x₃^', x₄^' als neues Koordinaten-
system ein, so daß die Wertesysteme einander eindeutig zu-
geordnet sind, so ist die Gleichheit aller vier Koordinaten
auch im neuen System der Ausdruck für die raumzeitliche
Koinzidenz zweier Punktereignisse. Da sich alle unsere physi-
kalischen Erfahrungen letzten Endes auf solche Koinzidenzen
zurückführen lassen, ist zunächst kein Grund vorhanden,
gewisse Koordinatensysteme vor anderen zu bevorzugen, d. h.
wir gelangen zu der Forderung der allgemeinen Kovarianz.

§ 4. Beziehung der vier Koordinaten zu räumlichen und zeit-
lichen Meßergebnissen.
Analytischer Ausdruck für das Gravitationsfeld.

Es kommt mir in dieser Abhandlung nicht darauf an,
die allgemeine Relativitätstheorie als ein möglichst einfaches
logisches System mit einem Minimum von Axiomen darzu-
stellen. Sondern es ist mein Hauptziel, diese Theorie so zu
entwickeln, daß der Leser die psychologische Natürlichkeit
des eingeschlagenen Weges empfindet und daß die zugrunde
gelegten Voraussetzungen durch die Erfahrung möglichst ge-
sichert erscheinen. In diesem Sinne sei nun die Voraus-
setzung eingeführt:

Für unendlich kleine vierdimensionale Gebiete ist die
Relativitätstheorie im engeren Sinne bei passender Koordi-
natenwahl zutreffend.

Der Beschleunigungszustand des unendlich kleinen (,,ört-
lichen“) Koordinatensystems ist hierbei so zu wählen, daß
ein Gravitationsfeld nicht auftritt; dies ist für ein unendlich
kleines Gebiet möglich. X₁, X₂, X₃ seien die räumlichen
Koordinaten; X₄ die zugehörige, in geeignetem Maßstabe ge-
messene¹) Zeitkoordinate. Diese Koordinaten haben, wenn
ein starres Stäbchen als Einheitsmaßstab gegeben gedacht
wird, bei gegebener Orientierung des Koordinatensystems
eine unmittelbare physikalische Bedeutung im Sinne der
speziellen Relativitätstheorie. Der Ausdruck

d s2 = - dX12 - dX22 - dX32 + dX42

(1)

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1) Die Zeiteinheit ist so zu wählen, daß die Vakuum-Lichtgeschwindig-
keit -- in dem ,,lokalen“ Koordinatensystem gemessen -- gleich 1 wird.