[(7) bzw. (5)]. Beide Gebilde sind Tensoren im Sinne der
obigen allgemeinen Bemerkung; hierin liegt ihre Bedeutung.
Im Anschluß an Ricci und Levi-Civita wird der kontra-
variante Charakter durch oberen, der kovariante durch unteren
Index bezeichnet.

§ 6. Tensoren zweiten und höheren Ranges.

Kontravarianter Tensor. Bilden wir sämtliche 16 Produkte
A der Komponenten A und B zweier kontravarianten
Vierervektoren

(8)

so erfüllt A gemäß (8) und (5a) das Transformationsgesetz

(9)

Wir nennen ein Ding, das bezüglich eines jeden Bezugs-
systems durch 16 Größen (Funktionen) beschrieben wird, die
das Transformationsgesetz (9) erfüllen, einen kontravarianten
Tensor zweiten Ranges. Nicht jeder solcher Tensor läßt sich
gemäß (8) aus zwei Vierervektoren bilden. Aber es ist leicht
zu beweisen, daß sich 16 beliebig gegebene A darstellen
lassen als die Summe der A B von vier geeignet gewählten
Paaren von Vierervektoren. Deshalb kann man beinahe alle
Sätze, die für den durch (9) definierten Tensor zweiten Ranges
gelten, am einfachsten dadurch beweisen, daß man sie für
spezielle Tensoren vom Typus (8) dartut.

Kontravarianter Tensor beliebigen Ranges. Es ist klar, daß
man entsprechend (8) und (9) auch kontravariante Tensoren
dritten und höheren Ranges definieren kann mit 4³ usw.
Komponenten. Ebenso erhellt aus (8) und (9), daß man in
diesem Sinne den kontravarianten Vierervektor als kontra-
varianten Tensor ersten Ranges auffassen kann.

Kovarianter Tensor. Bildet man andererseits die 16 Pro-
dukte A der Komponenten zweier kovarianter Vierervektoren
A und B

(10)

so gilt für diese das Transformationsgesetz

' @ xm @ xn Ast = ----'----'Amn . @ xs @ xt

(11)