Einstein, Albert Die Grundlage der allgemeinen Relativitaetstheorie 1916
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haben wir zu überlegen, wie derartige allgemein kovariante
Gleichungen gewonnen werden können. Dieser rein mathe-
matischen Aufgabe wenden wir uns jetzt zu; es wird sich
dabei zeigen, daß bei deren Lösung die in Gleichung (3) an-
gegebene Invariante ds eine fundamentale Rolle spielt, welche
wir in Anlehnung an die Gausssche Flächentheorie als ,,Linien-
element“ bezeichnet haben.

Der Grundgedanke dieser allgemeinen Kovariantentheorie
ist folgender. Es seien gewisse Dinge (,,Tensoren“) mit Bezug
auf jedes Koordinatensystem definiert durch eine Anzahl
Raumfunktionen, welche die ,,Komponenten“ des Tensors
genannt werden. Es gibt dann gewisse Regeln, nach welchen
diese Komponenten für ein neues Koordinatensystem be-
rechnet werden, wenn sie für das ursprüngliche System be-
kannt sind, und wenn die beide Systeme verknüpfende Trans-
formation bekannt ist. Die nachher als Tensoren bezeichneten
Dinge sind ferner dadurch gekennzeichnet, daß die Trans-
formationsgleichungen für ihre Komponenten linear und homo-
gen sind. Demnach verschwinden sämtliche Komponenten im
neuen System, wenn sie im ursprünglichen System sämtlich
verschwinden. Wird also ein Naturgesetz durch das Null-
setzen aller Komponenten eines Tensors formuliert, so ist es
allgemein kovariant; indem wir die Bildungsgesetze der Ten-
soren untersuchen, erlangen wir die Mittel zur Aufstellung all-
gemein kovarianter Gesetze.

Kontravarianter Vierervektor. Das Linienelement ist defi-
niert durch die vier ,,Komponenten“ dx, deren Trans-
formationsgesetz durch die Gleichung

(5)

ausgedrückt wird. Die dx^' drücken sich linear und homogen
durch die dx aus; wir können diese Koordinatendifferentiale
dx daher als die Komponenten eines ,,Tensors“ ansehen, den
wir speziell als kontravarianten Vierervektor bezeichnen. Jedes
Ding, was bezüglich des Koordinatensystems durch vier
Größen A definiert ist, die sich nach demselben Gesetz

(5a)